Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình vẽ bên dưới



Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f^{\prime }(f(x)-1)=0$ là

Từ đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $y=f(x)$, ta thấy hàm số có ba điểm cực trị $x_1<0<x_2$ (đối xứng qua $O$, với $x_1=-x_0,x_2=x_0$ trong đó $x_0\approx 1,41$). Đạo hàm $f^{\prime }(u)=0\iff u\in \{-x_0,0,x_0\}$. Do đó phương trình $f^{\prime }(f(x)-1)=0\iff f(x)-1\in \{-x_0,0,x_0\}\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=1</td></tr><tr><td>f(x)=1+x_0</td></tr><tr><td>f(x)=1-x_0</td></tr></tbody></table>$. Dựa vào đồ thị $f(x)$ với điểm cực đại $(0;1)$ và hai điểm cực tiểu $(-\sqrt{2};-1)$ và $(\sqrt{2};-1)$:
1) $f(x)=1$: đường thẳng $y=1$ tiếp xúc đồ thị tại cực đại $x=0$ và cắt 2 nhánh ngoài, có 3 nghiệm phân biệt.
2) $f(x)=1+x_0>1$: đường thẳng $y=1+x_0$ nằm trên điểm cực đại, cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
3) $f(x)=1-x_0$: do $x_0=\sqrt{2}\approx 1,41$ nên $1-x_0=1-\sqrt{2}\approx -0,41\in (-1;1)$. Đường thẳng $y=1-x_0$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm thực phân biệt là $3+2+4=9$ nghiệm. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn D.