Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=4x^3-16x$ và $f(1)=-4$. Gọi $k$ là số điểm cực tiểu của hàm số $g(x)=[f(x^2-2x){]}^2+1$. Tính giá trị biểu thức $T=k^2+2k-3$.

Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)\Rightarrow f(x)=x^4-8x^2+C$. Với $f(1)=-4\Rightarrow 1-8+C=-4\Rightarrow C=3$. Vậy $f(x)=x^4-8x^2+3$. Phương trình $f(x)=0$ có $x^2=4\pm \sqrt{13}$, cho 4 nghiệm thực phân biệt. Xét hàm số $g(x)=[f(x^2-2x){]}^2+1$, đạo hàm $g^{\prime }(x)=2(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)f(x^2-2x)$. Khảo sát số nghiệm đơn và điểm cực tiểu của $g(x)$, ta tìm được số điểm cực tiểu $k=4$. Khi đó $T=k^2+2k-3=4^2+2(4)-3=21$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn C.