Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ và chiều cao $h=2$. Cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $10\text{ m}$ độ dài, mặt phẳng $(Oxy)$ được coi là mặt nước biển (trong một phạm vi đủ nhỏ), đường đi của một tàu ngầm KILO 636 nằm trên đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-20\end{array}$. Khi tàu đậu ở vị trí điểm $A(-34;-68;-20)$ hệ thống định vị của tàu phát hiện phía trước có một khu vực nguy hiểm với trung tâm là điểm $C(6;12;-30)$ phạm vi ảnh hưởng tương đương một khối cầu tâm $C$, bán kính $R=12$ (giả thiết từ bề mặt của khối cầu trở ra phía ngoài khối cầu đó là vùng an toàn). Để tránh nguy hiểm mà không thay đổi độ sâu so với mặt nước biển và không muốn phải quay đầu, chỉ huy quyết định ngay tại vị trí $A$, tàu đổi hướng di chuyển mới theo đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ tạo với đường thẳng $\Delta$ một góc $\alpha$. Tính giá trị nhỏ nhất của góc $\alpha$ để tàu được an toàn (kết quả tính bằng độ, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;4;-3)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $3$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;1) , B (1; −3; −5) , C (3; −4; −3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z + 5 =0 . Xét các đường thẳng ∆ qua A và tạo với đường thẳng BC một góc 45° . Gọi M là giao điểm của ∆ với ( P) . Khi BM lớn nhất, ∆ có một vectơ chỉ  phương là u∆ = (1; a; b ) . Giá trị của a 2 + b 2 bằng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $1$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm $A(0;-1;-1)$, $B(-2;-1;5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ $M$ tới đường thẳng $d$?