Từ một lớp học gồm $18$ học sinh nam và $12$ học sinh nữ, chọn ra một ban cán sự gồm $4$ học sinh. Xác suất chọn được ban cán sự có số học sinh nam *không ít hơn* số học sinh nữ là

Có $5$ bông hoa màu đỏ, $6$ bông hoa màu xanh và $7$ bông hoa màu vàng (các bông hoa đều khác nhau). Một người chọn ngẫu nhiên ra $4$ bông hoa từ các bông trên. Xác suất để người đó chọn được bốn bông hoa có cả ba màu là

Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng $7$ là

Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ phân biệt thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$. Tính xác suất để ${\log }_{a}b$ là một số nguyên dương.

Một hộp chứa $9$ chiếc thẻ được ghi số lần lượt từ $1$ đến $9$. Lấy ngẫu nhiên $3$ chiếc thẻ từ hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên $3$ chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ bằng

Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S=\{1;2;3;\dots ;30\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A,B,C,D,E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
- Những bộ ba vị trí $(A,B,C),(C,D,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Bộ ba vị trí $(A,C,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\frac{1}{2026a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Cho tập $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Chọn ngẫu nhiên $4$ số phân biệt từ tập $X$ rồi đặt $1$ số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt $3$ số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi $P$ là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của $1980P$.