Một hộp chứa $9$ chiếc thẻ được ghi số lần lượt từ $1$ đến $9$. Lấy ngẫu nhiên $3$ chiếc thẻ từ hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên $3$ chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ bằng

Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S=\{1;2;3;\dots ;30\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A,B,C,D,E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
- Những bộ ba vị trí $(A,B,C),(C,D,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Bộ ba vị trí $(A,C,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\frac{1}{2026a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Cho tập $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Chọn ngẫu nhiên $4$ số phân biệt từ tập $X$ rồi đặt $1$ số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt $3$ số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi $P$ là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của $1980P$.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9$.

Một hộp chứa $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$ viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn lấy ra có đủ ba màu là

Sau khi tổng kết điểm trung bình cả năm, giáo viên chủ nhiệm lớp 12A nhận thấy trong 40 học sinh của lớp có 20 học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 15 học sinh đạt điểm giỏi môn Ngữ văn, 10 học sinh không đạt điểm giỏi môn nào trong hai môn trên. Chọn ngẫu nhiên một học sinh thuộc lớp 12A. Gọi $T$ là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm giỏi môn Toán”, $V$ là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm giỏi môn Ngữ văn”, $K$ là biến cố “Học sinh được chọn không đạt điểm giỏi môn nào trong hai môn Toán và Ngữ văn”.

Đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh môn Toán của trường $X$ có $10$ học sinh. Số thẻ dự thi của $10$ học sinh này được đánh số từ $1$ đến $10$. Chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh từ $10$ em của đội tuyển. Tính xác suất để không có $2$ học sinh nào trong $3$ em được chọn có hiệu các số thẻ dự thi bằng $5$.