Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2(m+1)z+m^2+1=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1|+|z_2|\le 4$?

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+1)=2m$. Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp nên $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+1}$; khi đó $|z_1|+|z_2|\le 4\iff 2\sqrt{m^2+1}\le 4\iff m^2\le 3$, kết hợp $m\in \mathbb{Z},m<0$ được $m=-1$. Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>0$, phương trình có hai nghiệm thực cùng dấu (do $z_1{z}_2=m^2+1>0$) nên $|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|=2|m+1|\le 4\iff -3\le m\le 1$, kết hợp $m\in \mathbb{Z},m>0$ được $m=1$. Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$. Chọn B.