Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(10;0;0)$ và $B(6;8;0)$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên trục $Oz$ và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết rằng $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AD=20\text{ m}$, $AB=10\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$, tia $Ox$ chứa điểm $D$, tia $Oy$ chứa điểm $B$, tia $Oz$ chứa điểm $A^{\prime }$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A^{\prime }C$ và $B{D}^{\prime }$. Giá sợi dây cáp là $100$ nghìn đồng/mét.

Trong không gian $Oxyz$, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, có hai trạm phát sóng trên không: trạm $A$ đặt trên không tại vị trí $A(1;1;3)$, trạm $B$ đặt trên không tại vị trí $B(10;13;6)$. Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu $M$ và $N$ sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: $MN=5$ và tổng chiều dài dây nối từ trạm $A$ đến $M$ và từ trạm $B$ đến $N$ là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm $M$ và $N$ bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía Đông và $2\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu ki lô mét? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;2)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, $M$ là điểm thuộc miền trong của tứ giác $ABCD$ sao cho tia $MG$ cắt mặt bên $SAB$ của hình chóp tại $N$. Khi biểu thức $Q=\frac{MG}{NG}+\frac{NG}{MG}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm $M$ chạy trên một đoạn thẳng, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{x+2}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x-y+z-25=0$. Một đường thẳng $(d^{\prime })$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $(d)$ tại điểm $N$ và $(d^{\prime })$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2;3;4)$. Giả sử điểm $M(a;b;0)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho tổng khoảng cách $MA+MB$ ngắn nhất. Tính $T=a+b$.