Xét các số thực $x\ge 0,y\ge 0$ sao cho ${\log }_2^{2}a-2x{\log }_{2}a-4y^2+16\ge 0$ đúng với mọi số thực $a>2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=x^2+y^2-12x$ bằng

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình ${\log }_{0,2}(x^2+1)\le {\log }_{0,2}(m{x}^2+4x+m)+1$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$? ${\log }_3(x^2+2mx+2m^2-1)\le 1+{\log }_2(x^2+2x+3)\cdot {\log }_3(x^2+3)$.

Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ ($m$ là tham số) để bất phương trình $(m-1)\ln x+\ln (m^2-5m+7)>0$ có tập nghiệm là $(1,+\infty )$. Tính tổng các giá trị của các phần tử thuộc tập $S$.

Cho phương trình $2+{\log }_3(x^2+1)\ge {\log }_3(m{x}^2-2x+m)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$?

Cho bất phương trình $2^{2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}+3^{2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}\le (2m-1)\cdot (\sqrt{5}{)}^{1+\cos 2x}$ với $m$ là tham số. Biết $\left[\frac{a}{b};+\infty \right)$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình đã cho có nghiệm (với $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính tổng $S=a+5b$.

Có bao nhiêu số nguyên $y\in [-2022;2022]$ để bất phương trình $(5x{)}^{y+\frac{11}{{\log }_{5}x}}\ge 5^{10+{\log }_{5}x}$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\in (1;25)$?