Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng $7$ là

Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ phân biệt thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$. Tính xác suất để ${\log }_{a}b$ là một số nguyên dương.

Một hộp chứa $9$ chiếc thẻ được ghi số lần lượt từ $1$ đến $9$. Lấy ngẫu nhiên $3$ chiếc thẻ từ hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên $3$ chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ bằng

Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S=\{1;2;3;\dots ;30\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A,B,C,D,E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
- Những bộ ba vị trí $(A,B,C),(C,D,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
- Bộ ba vị trí $(A,C,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\frac{1}{2026a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Cho tập $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Chọn ngẫu nhiên $4$ số phân biệt từ tập $X$ rồi đặt $1$ số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt $3$ số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi $P$ là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của $1980P$.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9$.

Một hộp chứa $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$ viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn lấy ra có đủ ba màu là