Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(1)=4$ và $f(x)=x{f}^{\prime }(x)-2x^3-3x^2$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm đa thức bậc ba $y=f(x)$ và hàm số $y=g(x)$ với đồ thị là Parabol đỉnh $I$ như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thoả mãn $x_1{x}_2{x}_3=12$. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x);y=g(x);x=1;x=3$ gần số nào nhất trong các số sau đây?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Biết rằng hàm số $g(x)=f(x)\cdot e^{-2x}$ có hai giá trị cực trị là $2$ và $-e^6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2g(x)$ và $h(x)=(2ax+b)\cdot e^{-2x}$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong và hàm số $y=g(x)$ có đồ thị là đường thẳng. Gọi $S_1$ là diện tích miền phẳng được gạch sọc, $S_2$ là diện tích miền phẳng được tô đậm, $S_1\ne S_2$ *(Hình vẽ)*. Tích phân ${\int }_{-}{2}^4\left(f(x)-g(x)\right)dx$ bằng

Gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=mx$ (với $0<m<3$) và parabol $(P):y=3x-x^2$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ với trục hoành. Khi $S_2=27S_1$ thì giá trị của tham số $m$ bằng

Cho hàm số $y=3^x$ và $y=x$ có đồ thị như hình bên. Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?