Cho số phức $z=x+yi$ thỏa $|z-2-4i|=|z-2i|$ và $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x+3y$?

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z^2|=2|z-\bar{z}|+4$ và $|z-2+i|=|z-1|$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và hai điểm $B\left(\frac{-1}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $C(0;1;-1)$. Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$, điểm $S$ di động trên đường thẳng $d$ ($S\ne A$). Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các đường thẳng $SB$ và $SC$, đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(P)$. Với điểm $M$ tùy ý trên đường thẳng $\Delta$, giá trị nhỏ nhất của $MB+MC$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-1|=|w-1|=2$ và $|z+w|=|z-w|$. Giá trị nhỏ nhất của $T=|z+w+2-3i|$ bằng

Cho các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $|z-4+2i|=|2z+\bar{z}|$, $\frac{w-8-10i}{w-6-10i}$ là số thuần ảo và $|u+1-2i|=|u-2+i|$. Giá trị nhỏ nhất của $T=|u-z|+|\bar{u}-\bar{w}|$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình $z^2-4z+\frac{c}{d}=0$ (với $c\in \mathbb{Z};d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm $z_1,z_2$. Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của $z_1,z_2$ trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, giá trị của biểu thức $P=2c-5d$ bằng

Cho số phức $z=a+bi$, với $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a-2b=1$. Tính $|z|$ khi biểu thức $|z+1+4i|+|z-2-5i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.