Cho số phức $z=a+bi$, với $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a-2b=1$. Tính $|z|$ khi biểu thức $|z+1+4i|+|z-2-5i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-4i|+|z-3+i|=5\sqrt{2}$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z+i|-|z-3-3i|$ có dạng $\sqrt{a}-\sqrt{b};a,b\in \mathbb{N}$. Giá trị của biểu thức $a-b$ bằng

Số phức nào dưới đây có biểu diễn hình học là điểm $M$ như hình bên?

Xét Trái Đất trong không gian $Oxyz$, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6371\text{ km}$ trong thực tế. Biết rằng nếu điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{ N};{\beta }^{\circ }\text{ E}(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì điểm $M$ có tọa độ là $M(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $17,0045^{\circ }\text{ N};107,0517^{\circ }\text{ E}$ và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $10,777^{\circ }\text{ N};106,695^{\circ }\text{ E}$ (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z+6-13i|+|z-3-7i|=3\sqrt{13}$ và $(12-5i)(z-2+i{)}^2$ là số thực âm. Giá trị của $|z|$ bằng

Gọi $T$ là tập hợp các số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z\bar{z}=|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|$. Xét $z_1$ và $z_2$ thuộc $T$ sao cho $\frac{z_1-z_2}{1-i}$ là số thuần ảo. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_1-z_2|$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=1$; $|z-w|=2\sqrt{2}$ và số phức $\overline{z}\cdot w$ có phần ảo bằng $2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z+w-1+2i|$ có dạng $a\sqrt{b}$ với $a$ là số nguyên và $b$ là số nguyên tố. Tích $ab$ bằng