Cho phương trình $3\sqrt{\tan x+1}(\sin x+2\cos x)=m(\sin x+3\cos x)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [0;2019]$ để phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, chia hai vế cho $\cos x>0$ và đặt $t=\sqrt{\tan x+1}>1⟹\tan x=t^2-1$. Phương trình trở thành $m=\frac{3t(t^2+1)}{t^2+2}$. Khảo sát hàm số $g(t)=\frac{3t(t^2+1)}{t^2+2}$ trên $(1;+\infty )$, hàm số đồng biến và $g(1)=2$, nên phương trình có đúng một nghiệm khi $m>2$. Với $m\in \mathbb{Z}\cap [0;2019]$, có $2019-3+1=2017$ giá trị.