Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{x+m}-\sqrt{\frac{m^2}{x+m}}=\sqrt{x+2m}$ có đúng một nghiệm nhỏ hơn $20$?

Điều kiện: $x+m>0$ và $x+2m\ge 0$. Nhân hai vế với $\sqrt{x+m}>0$, ta được $x+m-|m|=\sqrt{(x+m)(x+2m)}$. Nếu $m\le 0$ thì $x=-2m$; để $x+m>0⟹m<0$ và $x=-2m<20⟺-10<m<0$ ($9$ giá trị nguyên). Nếu $m>0$ thì $x^2=(x+m)(x+2m)⟺3mx+2m^2=0⟺x=-\frac{2m}{3}$, không thỏa $x+m-|m|=x\ge 0$. Vậy có $9$ giá trị nguyên của $m$.