Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 5$. Phương trình $\sqrt{x-3}=\sqrt{3x-15}$, bình phương hai vế: $x-3=3x-15\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$ (thỏa điều kiện). Vậy $x=\frac{6}{1}$ tối giản, $m=6$, $n=1$, nên $m\cdot n=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức trong căn đều dương với mọi $x$): $2x^2+x+3=x^2+2x+5\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0$, nên $x=2$ hoặc $x=-1$. Trong các đáp án, chỉ có $x=2$ (kiểm tra: $\sqrt{13}=\sqrt{13}$).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử $x=0$: hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2-6x+1=x^2-3\iff 2x^2-6x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Thử lại: $x=1$ cho $x^2-3=-2<0$ (loại); $x=2$ cho hai vế đều bằng $\sqrt{1}=1$ (nhận). Vậy $x=2\in [2;4)$, khớp đáp án C của mã đề 002.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{1}{2}$, $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ nên loại; tại $x=1$, hai vế đều bằng $1$, thỏa mãn. Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
(1): Điều kiện $8-x\ge 0\Rightarrow x\le 8$. Bình phương: $5x+10=64-16x+x^2\iff x^2-21x+54=0\iff x=3$ hoặc $x=18$. Vì $x\le 8$ nên chỉ nhận $x=3$; vậy (1) có đúng một nghiệm $x=3$.

a) Với $m=0$: (2) trở thành $\sqrt{4x^2-4x-3}=\sqrt{x^2+1}$. Bình phương: $3x^2-4x-4=0\iff x=2$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$. Thay lại kiểm tra: tại $x=2$, $4x^2-4x-3=5\ge 0$; tại $x=-\frac{2}{3}$, $4x^2-4x-3=\frac{13}{9}\ge 0$, cả hai đều thỏa. Tổng nghiệm của (2) là $2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. Tổng các nghiệm của (1) và (2): $3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\ne \frac{67}{3}$ → sai.

b) (1) chỉ có nghiệm $x=3$ (nghiệm $x=18$ bị loại vì $8-18<0$) → (1) có một nghiệm, không phải hai → sai.

c) (2) có nghiệm $\iff$ phương trình $3x^2+2(m-2)x+m^2-4=0$ (từ bình phương hai vế, với $x^2+1>0$ luôn) có nghiệm. ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-3(m^2-4)=-2m^2-4m+16\ge 0\iff m^2+2m-8\le 0\iff (m+4)(m-2)\le 0\iff m\in [-4;2]$. Các giá trị nguyên: $-4,-3,-2,-1,0,1,2$ — đúng 7 giá trị → đúng.

d) Bình phương hai vế của (1) (với điều kiện $8-x\ge 0$) cho $5x+10=(8-x{)}^2=64-16x+x^2\iff x^2-21x+54=0$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=0, (2) cho $3x^2-4x-4=0$ có nghiệm $x=2,x=-2/3$ (đều thỏa điều kiện), tổng $=4/3$; cộng nghiệm $x=3$ của (1) được $13/3\ne 67/3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(1): $x^2-21x+54=0$ cho $x=3,x=18$ nhưng $x=18$ bị loại vì $8-x\ge 0$; vậy (1) chỉ có một nghiệm $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(2) có nghiệm $\iff 3x^2+2(m-2)x+m^2-4=0$ có nghiệm $\iff -2m^2-4m+16\ge 0\iff m\in [-4;2]$, có đúng 7 giá trị nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương: $5x+10=(8-x{)}^2\iff x^2-21x+54=0$.

(AI giải đề cho tôi)
(1): Bình phương: 5x+10=(8−x)² ⇔ x²−21x+54=0, nên b) đúng. Nghiệm x=3, x=18; thử lại: x=3 thỏa (√25=5=8−3), x=18 loại (√100=10≠−10) nên (1) có đúng một nghiệm x=3 → c) sai. (2): Hai vế không âm nên bình phương tương đương: 4x²+2(m−2)x+m²−3=x²+1 ⇔ 3x²+2(m−2)x+m²−4=0. Có nghiệm ⇔ Δ'=(m−2)²−3(m²−4)=−2m²−4m+16≥0 ⇔ m²+2m−8≤0 ⇔ −4≤m≤2. Số giá trị nguyên m∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2} là 7 → a) đúng. d) m=0: (2) trở thành 3x²−4x−4=0, tổng hai nghiệm = 4/3; cộng với nghiệm của (1) là 3 được 3+4/3=13/3≠67/3 → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (cùng không âm): 3x²+2(m−2)x+m²−4=0 có nghiệm ⇔ −2m²−4m+16≥0 ⇔ −4≤m≤2, có 7 giá trị nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
5x+10=(8−x)² ⇔ x²−21x+54=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
x=18 không thỏa (vế phải âm), chỉ x=3 thỏa nên (1) có một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
m=0: (2) có tổng nghiệm 4/3; (1) có nghiệm x=3; tổng bằng 13/3≠67/3.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (cùng điều kiện hai biểu thức dưới dấu căn không âm): $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử $x=0$: hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy một nghiệm là $x=0$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+5x-2=2x^2-x+1$, chuyển vế: $x^2-6x+3=0$. Khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
(1): Bình phương hai vế: $x^2-x-2=-x^2+2x+3\iff 2x^2-3x-5=0\iff x=\frac{5}{2}$ hoặc $x=-1$. Thử lại: tại $x=\frac{5}{2}$, cả hai biểu thức trong căn đều bằng $\frac{7/4}{\ge }0$; tại $x=-1$ cả hai bằng $0$. Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt, tổng $\frac{5}{2}+(-1)=\frac{3}{2}$. (2): Bình phương: $x+2=3x^2-x+1\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử lại: $x=1$: $\sqrt{3}=\sqrt{3}$ đúng; $x=-\frac{1}{3}$: $\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$ đúng. Vậy (2) có 2 nghiệm (không phải 1 nghiệm), tổng $1+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(1) có 2 nghiệm phân biệt $x=\frac{5}{2}$ và $x=-1$, đều thỏa điều kiện.
b) (AI giải đề cho tôi)
(2) có 2 nghiệm $x=1$ và $x=-\frac{1}{3}$, không phải 1 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm của (1): $\frac{5}{2}+(-1)=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm của (2): $1+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bình phương: $4x^2-3x-3=2x+3\iff 4x^2-5x-6=0$, $\Delta =121$, $x=2$ hoặc $x=-\frac{3}{4}$. Cả hai đều thỏa $2x+3\ge 0$ (tại $x=-\frac{3}{4}$: $2x+3=\frac{3}{2}>0$) và $4x^2-3x-3=\frac{3}{2}>0$ → 2 nghiệm phân biệt, đúng.
b) Bình phương: $x^2+12x+28=2x^2+14x+24\iff x^2+2x-4=0\iff x=-1\pm \sqrt{5}$. Với $x=-1-\sqrt{5}\approx -3,236$: $x^2+12x+28\approx -0,36<0$ (loại) → chỉ còn 1 nghiệm $x=-1+\sqrt{5}$, sai.
c) Bình phương: $-4x^2-5x+8=2x^2+2x-2\iff 6x^2+7x-10=0$, $\Delta =289$, $x=\frac{5}{6}$ hoặc $x=-2$. Kiểm tra: tại $x=\frac{5}{6}$, $2x^2+2x-2=\frac{19}{18}>0$, $-4x^2-5x+8=\frac{19}{36}>0$; tại $x=-2$: cả hai biểu thức bằng $2>0$ → 2 nghiệm phân biệt, đúng.
d) Bình phương: $2x^2-12x-14=5x^2-26x-6\iff 3x^2-14x+8=0$, $\Delta =100$, $x=4$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Điều kiện $2x^2-12x-14\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 7$; cả hai nghiệm đều không thỏa → vô nghiệm, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-5x-6=0$ cho $x=2,x=-\frac{3}{4}$, đều thỏa điều kiện $2x+3\ge 0$ → 2 nghiệm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1-\sqrt{5}$ làm $x^2+12x+28<0$ nên bị loại; chỉ còn 1 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$6x^2+7x-10=0$ cho $x=\frac{5}{6},x=-2$, đều thỏa điều kiện cả hai biểu thức dưới căn không âm → 2 nghiệm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=4$ và $x=\frac{2}{3}$ đều không thỏa $2x^2-12x-14\ge 0$ (cần $x\le -1$ hoặc $x\ge 7$) → vô nghiệm.

a) Điều kiện xác định: $x\ge \frac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với
$$(x+1)\left(2x^2-2x+1\right)=3(x+1)(x-1)\sqrt{2x-1}$$
$\iff [<table><tbody><tr><td>x=-1(L).</td></tr><tr><td>2x^2-2x+1=3(x-1)\sqrt{2x-1}</td></tr></tbody></table>$ (1)
Có (1) $\iff 2(x-1{)}^2+2x-1=3(x-1)\sqrt{2x-1}$
$\iff \left(x-1-\sqrt{2x-1}\right)\left(2x-2-\sqrt{2x-1}\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>\sqrt{2x-1}=x-1</td></tr><tr><td>\sqrt{2x-1}=2x-2</td></tr></tbody></table>$
$+$) $\sqrt{2x-1}=x-1\iff \{<table><tbody><tr><td>x\ge 1</td></tr><tr><td>2x-1=(x-1{)}^2</td></tr></tbody></table>\iff x=2+\sqrt{2}$.
$+$) $\sqrt{2x-1}=2x-2\iff \{<table><tbody><tr><td>x\ge 1</td></tr><tr><td>2x-1=(2x-2{)}^2</td></tr></tbody></table>\iff x=\frac{5+\sqrt{5}}{4}$.
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm $x=2+\sqrt{2}$ và $x=\frac{5+\sqrt{5}}{4}$.

b) Gọi số sản phẩm loại I và loại II mà nhà máy sản xuất là $x,y(x,y\ge 0)$.
Tiền lãi thu về là $T(x;y)=20x+70y$.
Nhà máy dự trữ được 8 tấn nguyên liệu loại A nên ta có: $2x+y\le 8$.
Nhà máy dự trữ được 7 tấn nguyên liệu loại B nên ta có: $x+2y\le 7$.
Nhà máy dự trữ được 3 tấn nguyên liệu loại C nên ta có: $y\le 3$.
Cần tìm $x,y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn hệ $\{<table><tbody><tr><td>2x+y\le 8</td></tr><tr><td>x+2y\le 7</td></tr><tr><td>0\le y\le 3</td></tr><tr><td>x\ge 0</td></tr></tbody></table>$ sao cho biểu thức $T(x;y)$ lớn nhất.



Miền nghiệm của hệ bất phương trình là đa giác $OMNPQ$ như hình vẽ trên với $O(0;0),M(0;3),N(1;3),P(3;2),Q(4;0)$.
Ta có $T(0;0)=0;T(0;3)=210;T(1;3)=230;T(3;2)=200;T(4;0)=80$.
Vậy để thu được tiền lãi cao nhất cần sản xuất 1 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-7\ge 0\Rightarrow x^2\ge 7$ và $1-x^2\ge 0\Rightarrow x^2\le 1$. Không tồn tại $x$ thỏa cả hai điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. Số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+2x-3=15-5x\iff x^2+7x-18=0\iff (x-2)(x+9)=0$, được $x=2$ hoặc $x=-9$. Kiểm tra điều kiện: với $x=2$, $15-5x=5\ge 0$, $x^2+2x-3=5\ge 0$ (thỏa); với $x=-9$, $15-5x=60\ge 0$, $x^2+2x-3=60\ge 0$ (thỏa). Cả hai nghiệm đều hợp lệ, tổng $S=2+(-9)=-7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0\iff (x+1)(x+6)=0$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$ (tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$): với $x=-1$, hai vế đều bằng 0; với $x=-6$, hai vế đều bằng $\sqrt{55}$. Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$. a) Sai vì kết quả đúng là $x^2+7x+6=0$ chứ không phải $x^2-7x+6=0$. b) Đúng. c) Sai, tổng bằng $-7$. d) Sai, có 2 nghiệm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế được $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0$, không phải $x^2-7x+6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=-1$: $\sqrt{1+4-5}=0=\sqrt{2-3+1}$, thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm là $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=-6$ (đều thỏa điều kiện và thay lại đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0\iff 4x(x-2)=0$, nên $x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: $x=0$: $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ đúng; $x=2$: $\sqrt{20-16+2}=\sqrt{6}=\sqrt{6}$ đúng. Vậy (*) có 2 nghiệm $x=0,x=2$, tổng bằng $2$. a) Đúng vì $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x$. b) Sai, phương trình sau khi bình phương là $4x^2-8x=0$ chứ không phải $4x^2-3x=0$. c) Đúng, có 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$ (đều thỏa mãn). d) Sai, tổng các nghiệm bằng $0+2=2\ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2\ge 0$ nên $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$, không phải $4x^2-3x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-8x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, cả hai đều thỏa phương trình gốc nên (*) có 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $0+2=2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (cả hai vế đều không âm): $2x^2+x+1=x^2+mx+m-1$, tức $p(x)=x^2+(1-m)x+(2-m)=0$. Vì $2x^2+x+1>0$ với mọi $x$ (delta $=1-8<0$), và tại nghiệm của $p(x)=0$ ta có $x^2+mx+m-1=2x^2+x+1>0$, nên biểu thức dưới dấu căn thứ hai luôn dương tại nghiệm đó. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $p(x)=0$ có nghiệm thực: $$\Delta =(1-m{)}^2-4(2-m)=m^2+2m-7\ge 0.$$ Giải bất phương trình: $m\ge -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m\le -1-2\sqrt{2}$. Kiểm tra: với $m=2$, $x^2-x=0$, $x=1$ thỏa $\sqrt{4}=\sqrt{4}$; với $m=-4$, $x=-2$ thỏa $\sqrt{7}=\sqrt{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Điều kiện $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $2x+5=5x+7-2\sqrt{(4x+8)(x-1)}\Rightarrow 2\sqrt{4x^2+4x-8}=3x+2$ (vế phải dương với $x\ge 1$, hợp lệ). Bình phương tiếp: $16x^2+16x-32=9x^2+12x+4\Rightarrow 7x^2+4x-36=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-\frac{18}{7}$ (loại vì $x\ge 1$). Thử $x=2$: $\sqrt{9}=3=\sqrt{16}-\sqrt{1}=4-1$ ✓. Vậy $x=2$. Câu 1b: Chia hai vế cho $(\sqrt{2}{)}^x>0$: ${\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)}^x+3{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)}^x<4$. Đặt $a=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}>1$, khi đó $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{a}$ vì $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$... kiểm tra: $a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2}=1$ ✓. Bất phương trình thành $a^x+\frac{3}{a^x}<4\iff t^2-4t+3<0$ với $t=a^x>0\iff 1<t<4\iff 0<x<{\log }_{a}4$. Vì $a^2=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=2+\sqrt{3}$, nên ${\log }_{a}4=\frac{\ln 4}{\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3})}=\frac{4\ln 2}{\ln (2+\sqrt{3})}$. Vậy tập nghiệm $S=\left(0;{\log }_{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}4\right)=\left(0;\frac{4\ln 2}{\ln (2+\sqrt{3})}\right)$. Kiểm tra: $x=2$ cho $8-2\sqrt{3}\approx 4,54>4$ nên $2$ không thuộc nghiệm, phù hợp vì giới hạn trên $\approx 2,106>2$.

a. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$. (1,0 điểm)
Nêu được tọa độ đỉnh $I(2;-1)$
Nêu đúng phương trình trục đối xứng $x=2$

Nhận xét được giao với các trục hoặc lập đúng bảng giá trị (tối thiểu là ba điểm) (0,5 điểm)

Vẽ đúng đồ thị hàm số (0,5 điểm)



b. ĐKXD $0\le x\le 4$ [0,5 điểm]

Bình phương hai vế của PT ta được $4+2\sqrt{4x-x^2}=3m-x^2+4x$

$$\iff -\left(4x-x^2\right)+2\sqrt{4x-x^2}+4=3m$$ (1)

Đặt $\sqrt{4x-x^2}=t$, có $0\le \sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2{)}^2}\le 2\forall x\in [0;4]$ [0,5 điểm]

$\Rightarrow t\in [0;2]$

PT (1) trở thành: $-t^2+2t+4=3m$ (2)

Ta có BBT của hàm số $f(t)=-t^2+2t+4$ [0,5 điểm]



Dựa vào BBT suy ra PT (2) có nghiệm khi $4\le 3m\le 5\iff \frac{4}{3}\le m\le \frac{5}{3}$ [0,5 điểm]

Vậy PT ban đầu có nghiệm khi $\frac{4}{3}\le m\le \frac{5}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: $x=1$ loại vì $1-4<0$; $x=-4$ thỏa ($16-4=12\ge 0$, và $2\cdot 16-12-8=12$ khớp). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.