Câu 1. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình $2x^3-x+1=3\left(x^2-1\right)\sqrt{2x-1}$.

b) Một nhà máy dự định sản xuất 2 loại sản phẩm I và II. Khảo sát cho thấy mỗi sản phẩm loại I lãi 20 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại II lãi 70 triệu đồng. Để sản xuất ra một sản phẩm loại I cần 2 tấn nguyên liệu loại A và 1 tấn nguyên liệu loại B. Để sản xuất ra một sản phẩm loại II cần 1 tấn nguyên liệu loại A, 2 tấn nguyên liệu loại B và 1 tấn nguyên liệu loại C. Nhà máy đó dự trữ được 8 tấn nguyên liệu loại A, 7 tấn nguyên liệu loại B và 3 tấn nguyên liệu loại C. Hỏi nhà máy cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số tiền lãi thu được là nhiều nhất?

Số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ là:

Trên một chiếc thuyền buồm, cột buồm được giữ thẳng đứng nhờ hai dây chằng: một dây chằng phía trước (forestay) và một dây chằng phía sau (backstay). Dây phía trước được gắn từ đỉnh của cột buồm xuống boong cách chân cột buồm 5 mét, còn dây phía sau được gắn từ đỉnh của cột buồm xuống boong cách chân cột buồm 3 mét (các dây được căng thẳng hoàn toàn và không có tính co giãn hay đàn hồi). Tổng chiều dài của hai dây chằng là 11 mét (chiều dài mỗi dây tính theo đường thẳng từ điểm gắn trên boong đến điểm nối trên cột buồm). Các dây chằng, cột buồm và boong tàu tạo thành các tam giác vuông, với góc vuông tại chân cột buồm (xem hình vẽ). Hỏi các dây chằng được gắn vào cột buồm ở độ cao $h$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương trình $\sqrt{4x^2+15x-19}=\sqrt{5x^2+23x-14}$ có một nghiệm $x=a-\sqrt{b}$. Khi đó giá trị của $a+b$ bằng:

Giá trị nào dưới đây là nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-4x-1}=\sqrt{5+x}$ ?

Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) $\sqrt{2x+5}=\sqrt{4x+8}-\sqrt{x-1}$.
b) ${\left(\sqrt{3}+1\right)}^x+3{\left(\sqrt{3}-1\right)}^x<{\left(\sqrt{2}\right)}^{x+4}$.

Giá trị nào của $x$ là nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-6x-8}=\sqrt{x^2-5x-2}$