Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) $\sqrt{2x+5}=\sqrt{4x+8}-\sqrt{x-1}$.
b) ${\left(\sqrt{3}+1\right)}^x+3{\left(\sqrt{3}-1\right)}^x<{\left(\sqrt{2}\right)}^{x+4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Điều kiện $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $2x+5=5x+7-2\sqrt{(4x+8)(x-1)}\Rightarrow 2\sqrt{4x^2+4x-8}=3x+2$ (vế phải dương với $x\ge 1$, hợp lệ). Bình phương tiếp: $16x^2+16x-32=9x^2+12x+4\Rightarrow 7x^2+4x-36=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-\frac{18}{7}$ (loại vì $x\ge 1$). Thử $x=2$: $\sqrt{9}=3=\sqrt{16}-\sqrt{1}=4-1$ ✓. Vậy $x=2$. Câu 1b: Chia hai vế cho $(\sqrt{2}{)}^x>0$: ${\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)}^x+3{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)}^x<4$. Đặt $a=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}>1$, khi đó $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{a}$ vì $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$... kiểm tra: $a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2}=1$ ✓. Bất phương trình thành $a^x+\frac{3}{a^x}<4\iff t^2-4t+3<0$ với $t=a^x>0\iff 1<t<4\iff 0<x<{\log }_{a}4$. Vì $a^2=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=2+\sqrt{3}$, nên ${\log }_{a}4=\frac{\ln 4}{\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3})}=\frac{4\ln 2}{\ln (2+\sqrt{3})}$. Vậy tập nghiệm $S=\left(0;{\log }_{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}4\right)=\left(0;\frac{4\ln 2}{\ln (2+\sqrt{3})}\right)$. Kiểm tra: $x=2$ cho $8-2\sqrt{3}\approx 4,54>4$ nên $2$ không thuộc nghiệm, phù hợp vì giới hạn trên $\approx 2,106>2$.