Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có $CA<CB$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $R$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\widehat{AB}$; $T$ và $S$ lần lượt là trung điểm của $CA$, $CB$. Đường trung trực của các cạnh $CA$, $CB$ lần lượt cắt $CR$ tại $Q$ và $P$.
1. Chứng minh rằng:
a) $QT.CP=PS.CQ$;
b) Hai điểm $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng $CR$.
2. So sánh diện tích hai tam giác $RTQ$ và $RPS$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\gamma =\widehat{ACR}=\widehat{BCR}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$, vì $R$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ (không chứa $C$) nên $CR$ là phân giác góc $C$ và $RA=RB$.

**1a)** Vì $Q$ thuộc đường trung trực của $CA$ nên $QA=QC$, tam giác $AQC$ cân tại $Q$ với $\widehat{QCA}=\gamma$. Trung tuyến $QT$ đồng thời là đường cao, nên $QT\perp CA$. Trong tam giác vuông $QTC$: $QT=CQ\sin \gamma$. Tương tự, $PS\perp CB$ và trong tam giác vuông $PSC$: $PS=CP\sin \gamma$.
Do đó $QT\cdot CP=CQ\cdot CP\sin \gamma =PS\cdot CQ$. Đpcm.

**1b)** Trong tam giác vuông $QTC$: $CQ=\frac{CA}{2\cos \gamma }$; tương tự $PC=\frac{CB}{2\cos \gamma }$. Gọi $\rho$ là bán kính đường tròn $(O)$: $CA=2\rho \sin B$, $CB=2\rho \sin A$, nên
$$CQ+CP=\frac{\rho (\sin A+\sin B)}{\cos \gamma }=\frac{2\rho \sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}{\cos \gamma }=2\rho \cos \frac{A-B}{2},$$
vì $\frac{A+B}{2}=90^{\circ }-\gamma$. Mặt khác, góc nội tiếp $\widehat{CAR}=\widehat{CAB}+\widehat{BAR}=A+\gamma =90^{\circ }+\frac{A-B}{2}$ (do $\widehat{BAR}=\widehat{BCR}=\gamma$ cùng chắn cung $BR$), nên dây $CR=2\rho \sin \widehat{CAR}=2\rho \cos \frac{A-B}{2}$.
Vậy $CQ+CP=CR$. Vì $CA<CB$ nên $\sin B<\sin A$, suy ra $CQ<CP$; do đó trên tia $CR$ có thứ tự $C,Q,P,R$ và
$$RQ=CR-CQ=CP,RP=CR-CP=CQ.$$
Suy ra $QC=RP$, tức $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua đường trung trực (trung điểm) của đoạn $CR$. Đpcm.

**2)** Vì $QT\perp CA$, $PS\perp CB$ mà $CR$ tạo với $CA$, $CB$ góc bằng nhau bằng $\gamma$, nên góc giữa $QT$ và $CR$ cũng bằng góc giữa $PS$ và $CR$, đều bằng $90^{\circ }-\gamma$. Do đó
$$S_{RTQ}=\frac{1}{2}RQ\cdot QT\cos \gamma =\frac{1}{2}CP\cdot QT\cos \gamma ,$$
$$S_{RPS}=\frac{1}{2}RP\cdot PS\cos \gamma =\frac{1}{2}CQ\cdot PS\cos \gamma .$$
Theo câu 1a) $QT\cdot CP=PS\cdot CQ$ và câu 1b) $RQ=CP$, $RP=CQ$, suy ra $S_{RTQ}=S_{RPS}$.
Vậy hai tam giác $RTQ$ và $RPS$ có diện tích bằng nhau. (Kiểm tra trực tiếp: cả hai đều bằng $\frac{CA\cdot CB\sin \gamma }{8\cos \gamma }$.)