Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 11 THPT Tuyên Quang 2024-2025

Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) $\sqrt{2x+5}=\sqrt{4x+8}-\sqrt{x-1}$.
b) ${\left(\sqrt{3}+1\right)}^x+3{\left(\sqrt{3}-1\right)}^x<{\left(\sqrt{2}\right)}^{x+4}$.

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n^2+\frac{2}{3}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Chứng minh rằng:
a) $u_n<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$;
b) Dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có $CA<CB$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $R$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\widehat{AB}$; $T$ và $S$ lần lượt là trung điểm của $CA$, $CB$. Đường trung trực của các cạnh $CA$, $CB$ lần lượt cắt $CR$ tại $Q$ và $P$.
1. Chứng minh rằng:
a) $QT.CP=PS.CQ$;
b) Hai điểm $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng $CR$.
2. So sánh diện tích hai tam giác $RTQ$ và $RPS$.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đa giác đều $(H)$ có 30 đỉnh nội tiếp trong đường tròn $(O)$.
a) Có bao nhiêu đường chéo của đa giác $(H)$ không phải là đường kính của $(O)$?
b) Tính số tam giác tù có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác $(H)$.

Câu 5 (3,0 điểm). Giả sử $\{x_1;x_2;...;x_{78}\}$ là một hoán vị của tập $A=\{1976;1977;...;2053\}$.
a) Tìm dư khi chia $a=x_1{x}_2...x_{78}$ cho 79.
b) Chứng minh rằng tồn tại $m,n\in \{1;2;...;78\}$, $m\ne n$ thỏa mãn: $m{x}_m-n{x}_n$ chia hết cho 79.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho đa thức $P(x)$ có hệ số hữu tỉ, bậc 5 và $P\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=25$. Chứng minh rằng tồn tại một tam thức bậc hai $Q(x)$ có hệ số hữu tỉ thỏa mãn
$$(P(-1)-25).(P(0)-25).(P(1)-25)+132.Q(-1).Q(0).Q(1)=0.$$