Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n^2+\frac{2}{3}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Chứng minh rằng:
a) $u_n<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$;
b) Dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Cho dãy số thực $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1=2,(u_{n+1}+1)u_n=u_n{\left(\sqrt{u_n}+1\right)}^2+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Chứng minh rằng $3n-1\le u_n<(n+1{)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Chứng minh rằng $\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\cdots +\frac{n}{u_n}>\ln \frac{n+2}{2}-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=\alpha >0$ và $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge n$ với mọi $n\ge 2$.

b) Chứng minh rằng dãy số $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 6. (7.0 điểm)

Cho đa giác lồi 2026 đỉnh $A_1{A}_2...A_{2026}$. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu.

a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh.

b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi $k\in \{1;2;...;2026\}$, trong $k$ đỉnh $A_1,A_2,...,A_k$, số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_0=2;u_1=5$ và $u_{n+1}=5u_n-6u_{n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Bằng quy nạp, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta có $u_n=2^n+3^n$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1$ và $u_{n+1}=u_n+(n+1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.
a) Chứng minh rằng $(u_n)$ là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng $u_n=1+(n-1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.

Câu 4. (3,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n={\left(4-\sqrt{15}\right)}^n+{\left(4+\sqrt{15}\right)}^n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho 2 và $A=u_1^2+u_2^2+\dots +u_{2025}^2$ chia hết cho 8.