Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1$ và $u_{n+1}=u_n+(n+1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.
a) Chứng minh rằng $(u_n)$ là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng $u_n=1+(n-1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.

Câu 4. (3,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n={\left(4-\sqrt{15}\right)}^n+{\left(4+\sqrt{15}\right)}^n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho 2 và $A=u_1^2+u_2^2+\dots +u_{2025}^2$ chia hết cho 8.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho 21 ô vuông được xếp thành một hàng dọc liên tiếp nhau. Người ta tô một trong hai màu đen hoặc trắng cho mỗi ô vuông sao cho:
i) Không tô đen 2 ô liên tiếp nhau.
ii) Không tô trắng quá 2 ô liên tiếp nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên?

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\in \mathbb{R},\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Với $a=2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a>0$, chứng minh rằng $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$.

Cho đa thức $P(x)=4x^3-20x^2+25x$. Xét dãy các đa thức $(P_n(x))$ xác định bởi:
$$P_1(x),P_{n+1}(x)=P_1(P_n(x))\text{ với mọi }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Với $P_1(x)=P(x)$, xác định số nghiệm thực phân biệt của $P_n(x)$ theo $n$.
b) Với $P_1(x)=P(1-x)+8x^2-9$, gọi $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức $P_n(x)$ với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng $T={\sum }_{n=1}^{2026}{a}_n>\frac{3}{4}$.

Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ x_{n+1}=x_n^2-2x_n+\frac{2n+11}{n+5}\end{array}\left(n\ge 1\right)$$
Chứng minh $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và tìm giới hạn của dãy số $\left(x_n\right)$.

Câu 1 (7,0 điểm). Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=-2;u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2-8}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a. Chứng minh rằng $-2\le u_n\le -\sqrt[3]{4}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$.