Cho đa thức $P(x)=4x^3-20x^2+25x$. Xét dãy các đa thức $(P_n(x))$ xác định bởi:
$$P_1(x),P_{n+1}(x)=P_1(P_n(x))\text{ với mọi }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Với $P_1(x)=P(x)$, xác định số nghiệm thực phân biệt của $P_n(x)$ theo $n$.
b) Với $P_1(x)=P(1-x)+8x^2-9$, gọi $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức $P_n(x)$ với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng $T={\sum }_{n=1}^{2026}{a}_n>\frac{3}{4}$.

a) Với $P_1(x)=P(x)=4x^3-20x^2+25x$.
Ta có $P(x)=0\iff 4x^3-20x^2+25x=0\iff x(2x-5{)}^2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right]$.
$P^{\prime }(x)=12x^2-40x+25=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{5}{2}\\ x=\frac{5}{6}\end{array}\right]$.
Lập bảng biến thiên:

Ta thấy $P_2(x)=0\iff P\left(P_1(x)\right)=0\iff \{\begin{array}{l}{P}_1(x)=0\\ P_1(x)=\frac{5}{2}\end{array}$.
Từ bảng biến thiên suy ra $P_1(x)=\frac{5}{2}$ có 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0;3)$ đồng thời khác 0 và $\frac{5}{2}$. Suy ra $P_2(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Ta chứng minh quy nạp rằng: số nghiệm thực phân biệt của phương trình $P_n(x)=t$ với $t\in (0;3)$ bằng $3^n$, $\forall n\ge 1$. (*)
Thật vậy, như trên đã chứng minh, mệnh đề (*) đúng với $n=1$.
Giả sử mệnh đề đúng đến $n=k$. Xét $n=k+1$ ta có $P_{k+1}(x)=t\iff \{\begin{array}{l}{P}_k(x)=m\\ P_k(x)=n\\ P_k(x)=p\end{array}$ với $m,n,p$ phân biệt thuộc khoảng $(0;3)$. Theo giả thiết quy nạp mỗi phương trình trên có $3^k$ nghiệm thực phân biệt nên phương trình $P_{k+1}(x)=t$ có $3^{k+1}$ nghiệm thực phân biệt. Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi $n\ge 1$.
Gọi $T_n$ là số nghiệm của $P_n(x)$. Ta có $T_1=2$.
Với $n\ge 2$, ta có $P_n(x)=0\iff P\left(P_{n-1}(x)\right)=0\iff \{\begin{array}{l}{P}_{n-1}(x)=0\\ P_{n-1}(x)=\frac{5}{2}\end{array}$.
Ta thấy $P_{n-1}(x)=0$ có $T_{n-1}$ nghiệm phân biệt.
Theo (*), phương trình $P_{n-1}(x)=\frac{5}{2}$ có $3^{n-1}$ nghiệm thực phân biệt nên $T_n=T_{n-1}+3^{n-1}$. Khi đó
$$T_n=T_{n-1}+3^{n-1}=T_{n-2}+3^{n-2}+3^{n-1}=\dots =T_1+\left(3+3^2+\dots +3^{n-1}\right)=\frac{3^n+1}{2}.$$

b) Với $P_1(x)=P(1-x)+8x^2-9=3x-4x^3$.
Nếu $|x|>1$ thì $\left|P_1(x)\right|=\left|x\left(4x^2-3\right)\right|>1$ nên $P_1(x)$ không có nghiệm thỏa mãn $|x|>1$. Bằng quy nạp, ta suy ra $\left|P_n(x)\right|>1$ nên $P_n(x)$ không có nghiệm thỏa mãn $|x|>1$.
Với $|x|\le 1$, đặt $x=\sin t$, $t\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.
Khi đó $P_1(x)=3\sin t-4{\sin }^{3}t=\sin (3t)$.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được $P_n(x)=\sin \left(3^{n}t\right)$.
Do đó $P_n(x)=0\iff \sin \left(3^{n}t\right)=0\iff t=\frac{k\pi }{3^n}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Do $t\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ nên $-\frac{\pi }{2}\le \frac{k\pi }{3^n}\le \frac{\pi }{2}\iff -\frac{3^n}{2}\le k\le \frac{3^n}{2}$.
Do $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất nên $a_n=\sin \frac{\pi }{3^n}$.
Khảo sát hàm số, ta chứng minh được $\sin x\ge \frac{x}{2},\forall x\in \left[0;\frac{\pi }{3}\right]$.
Khi đó ta có:
$$T=\sum _{n=1}^{2026}{a}_n=\sum _{n=1}^{2026}\sin \left(\frac{\pi }{3^n}\right)>\sum _{n=1}^{2026}\frac{\pi }{2.3^n}=\frac{\pi }{2}\cdot \left(\sum _{n=1}^{2026}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{\pi }{4}\cdot \left(1-\frac{1}{3^{2026}}\right)>\frac{3}{4}.$$