Đề thi lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT 2026-2027, Môn Toán (ngày thi 15/9/2026) - Đề Số 1

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\in \mathbb{R},\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Với $a=2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a>0$, chứng minh rằng $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $P$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $EF$. Gọi $Q$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.
a) Gọi $R$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AP$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng $DR$ đi qua điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $OM$.
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMR$. Chứng minh rằng đường thẳng $XH$ vuông góc với $QG$.

Cho đa thức $P(x)=4x^3-20x^2+25x$. Xét dãy các đa thức $(P_n(x))$ xác định bởi:
$$P_1(x),P_{n+1}(x)=P_1(P_n(x))\text{ với mọi }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Với $P_1(x)=P(x)$, xác định số nghiệm thực phân biệt của $P_n(x)$ theo $n$.
b) Với $P_1(x)=P(1-x)+8x^2-9$, gọi $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức $P_n(x)$ với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng $T={\sum }_{n=1}^{2026}{a}_n>\frac{3}{4}$.

Cho hai dãy số $(a_n)$, $(b_n)$ xác định như sau:
$a_0=1,a_1=1$, $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$ và $b_0=0$, $b_1=1$, $b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$.
Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì
a) $a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2}{)}^n$ và cặp số $a_n,b_n$ nguyên tố cùng nhau.
b) $\frac{b_{4n}}{2}$ là số nguyên nhưng không là số chính phương.