Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi:
a) $u_n=\frac{2n+3}{n+2}$ b) $u_n=\frac{1}{n(n+1)}$ c) $u_n=n^2+4$
d) $u_n=\frac{n+1}{3^n}$ e) $u_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+n}$ f) $u_n=(-1{)}^n\cos \frac{\pi }{2n}$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

a) $u_n=\frac{2n+3}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}$. Vì $n\ge 1$ nên $\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$, suy ra $\frac{5}{3}\le u_n<2$. Dãy bị chặn trên (bởi 2), bị chặn dưới (bởi $\frac{5}{3}$), do đó bị chặn.

b) $u_n=\frac{1}{n(n+1)}>0$ và $n(n+1)\ge 2$ nên $0<u_n\le \frac{1}{2}$. Dãy bị chặn trên (bởi $\frac{1}{2}$), bị chặn dưới (bởi 0), do đó bị chặn.

c) $u_n=n^2+4\ge 5$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi 5). Nhưng $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (ví dụ $u_n>n^2$), nên dãy không bị chặn trên, do đó không bị chặn.

d) $u_n=\frac{n+1}{3^n}>0$. Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+2}{3(n+1)}<1$ nên dãy giảm; max tại $n=1$: $u_1=\frac{2}{3}$. Vậy $0<u_n\le \frac{2}{3}$: dãy bị chặn trên, bị chặn dưới, do đó bị chặn.

e) Nhân liên hợp: $u_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\frac{n\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)}{(n^2+2n)-n^2}=\frac{\sqrt{n^2+2n}-n}{2}$. Vì $n<\sqrt{n^2+2n}<n+1$ nên $0<u_n<\frac{1}{2}$. Dãy bị chặn trên (bởi $\frac{1}{2}$), bị chặn dưới (bởi 0), do đó bị chặn.

f) $u_n=(-1{)}^n\cos \frac{\pi }{2n}$. Vì $\left|\cos \frac{\pi }{2n}\right|\le 1$ nên $|u_n|\le 1$, tức $-1\le u_n\le 1$. Dãy bị chặn trên (bởi 1), bị chặn dưới (bởi $-1$), do đó bị chặn.

Kết luận: các dãy a), b), d), e), f) bị chặn; dãy c) chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên và không bị chặn.