Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ x_{n+1}=x_n^2-2x_n+\frac{2n+11}{n+5}\end{array}\left(n\ge 1\right)$$
Chứng minh $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và tìm giới hạn của dãy số $\left(x_n\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $y_n=x_n-1$. Vì $\frac{2n+11}{n+5}=2+\frac{1}{n+5}$ nên phương trình truy hồi trở thành $$y_{n+1}=y_n^2+\frac{1}{n+5},y_1=\frac{1}{2}.$$ Ta chứng minh bằng quy nạp rằng $y_n\le \frac{5}{2n+8}$ với mọi $n\ge 1$, tức là $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}$.

- Với $n=1$: $y_1=\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$, đẳng thức xảy ra.
- Giả sử $y_n\le \frac{5}{2n+8}=\frac{5}{2(n+4)}$. Vì $y_n^2\ge 0$ nên $y_n>0$ với mọi $n$ (do $y_{n+1}=y_n^2+\frac{1}{n+5}>0$), do đó $y_{n+1}\le \frac{25}{4(n+4{)}^2}+\frac{1}{n+5}$.

Ta cần chứng minh $$\frac{25}{4(n+4{)}^2}+\frac{1}{n+5}\le \frac{5}{2(n+5)}.$$ Nhân hai vế với $4(n+4{)}^2(n+5)>0$, bất đẳng thức tương đương $$25(n+5)+4(n+4{)}^2\le 10(n+4{)}^2⟺25(n+5)\le 6(n+4{)}^2$$ $$⟺6n^2+23n-29\ge 0⟺(n-1)(6n+29)\ge 0,$$ luôn đúng với $n\ge 1$ (đẳng thức tại $n=1$). Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi $n$.

Vậy $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}=1+\frac{5}{2n+8}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Mặt khác, với $n\ge 2$: $y_n=y_{n-1}^2+\frac{1}{n+4}>\frac{1}{n+4}$. Do đó với mọi $n\ge 2$: $$\frac{1}{n+4}<y_n\le \frac{5}{2n+8}.$$ Vì cả hai cận đều tiến về $0$ khi $n\to \infty$, theo nguyên lý kẹp $y_n\to 0$, tức là $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1.$$