Ta gọi cặp số nguyên dương $(a;b)$ có thứ tự là “HV2026” nếu $ab\mid a^{21}+b^{24}+a$.
a) Chứng minh rằng nếu $(a;b)$ là HV2026 thì $a$ là lũy thừa bậc 24 của một số nguyên dương và tồn tại các số nguyên dương $u,v$ là ước của $b$ sao cho $b\mid u^{480}+v^{24}+1$.
b) Xét dãy số $(u_n),(v_n)$ cho bởi: $u_1=1,v_1=2$, với mọi $n\ge 1$ thì $u_{n+1}=\frac{v_n^{24}+1}{u_n}$ và $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}^{480}+1}{v_n}$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 1$, các số $u_n,v_n$ nguyên dương và $(u_n^{24};u_n{v}_n)$ là HV2026.

a) (3,0 điểm) Xét một cặp số $(a,b)$ là HV2026. Nếu $a=1=1^{24}$ thì $a$ là lũy thừa bậc 24 của 1. Nếu $a>1$ thì ta đặt $a^{21}+b^{24}+a=abc$ với $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Rõ ràng phải có $a\mid b^{24}$. Xét một ước nguyên tố $p$ của $a$ suy ra $p$ cũng là ước của $b$ và đặt $x=v_p(a)$, $y=v_p(b)$ thì trước hết có $0<x\le 24y$. (1,0)

Nếu $x<24y$ thì $v_p(a^{21}+a)=v_p(a)=x$ nên theo tính chất của số mũ đúng, ta có $v_p\left(a^{21}+b^{24}+a\right)=\min \left\{v_p\left(a^{21}+a\right),v_p\left(b^{24}\right)\right\}=x$.

Chú ý rằng $v_p(ab)=x+y>x$ nên không thể có phép chia hết. Do đó $x=24y$, suy ra $v_p(a)$ chia hết cho 24. Điều này đúng với mọi ước nguyên tố $p$ tùy ý của $a$ nên phải có $a$ là lũy thừa bậc 24 của một số nguyên dương nào đó. (1,0)

Do chứng minh trên ta được có số nguyên dương $u$ sao cho $a=u^{24}$, kết hợp với $u^{24}\mid b^{24}$ suy ra $u\mid b$. Tiếp theo từ ${\left(u^{24}\right)}^{21}+b^{24}+u^{24}=u^{24}bc$ ta được $u^{480}+{\left(\frac{b}{u}\right)}^{24}+1=bc$ suy ra $b\mid u^{480}+v^{24}+1$ trong đó $v$ thỏa mãn $b=uv$. (1,0)

b) (2,0 điểm) Để đơn giản, đặt $A=24$, $B=480$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $n\ge 1$ rằng $u_n,v_n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đồng thời $u_n\mid v_n^A+1$ và $v_n\mid u_{n+1}^B+1$.

Với $n=1$ thì rõ ràng $u_1,v_1\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\left(u_1^{24};u_1{v}_1\right)=(1;2)$ thỏa mãn $1\cdot 2\mid 1^{21}+2^{24}+1$ suy ra $\left(u_1^{24};u_1{v}_1\right)$ là HV2026.

Giả sử khẳng định đúng đến $n\ge 1$. Khi đó, ta sẽ có ngay
$$u_{n+1}=\frac{v_n^A+1}{u_n}\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ vaˋ }{v}_{n+1}=\frac{u_{n+1}^B+1}{v_n}\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng $u_{n+1}\mid v_{n+1}^A+1$ và $v_{n+1}\mid u_{n+2}^B+1$. (0,5)

Ta có $v_{n+1}{v}_n=u_{n+1}^B+1$ nên $v_{n+1}{v}_n\equiv 1(\mathrm{mod}{u}_{n+1})$ và $v_{n+1}^A{v}_n^A\equiv 1(\mathrm{mod}{u}_{n+1})$.

Mặt khác, $v_n^A+1=u_{n+1}{u}_n$ nên $v_n^A\equiv -1(\mathrm{mod}{u}_{n+1})$, kết hợp với đồng dư thức trên, ta có ngay $v_{n+1}^A\equiv -1(\mathrm{mod}{u}_{n+1})$ hay $u_{n+1}\mid v_{n+1}^A+1$. (0,5)

Suy ra $u_{n+2}=\frac{v_{n+1}^A+1}{u_{n+1}}\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $u_{n+1}{u}_{n+2}\equiv 1(\mathrm{mod}{v}_{n+1})$ và $u_{n+2}^B{u}_{n+1}^B\equiv 1(\mathrm{mod}{v}_{n+1})$.

Chú ý $u_{n+1}^B+1=v_{n+1}{v}_n$ nên $u_{n+1}^B\equiv -1(\mathrm{mod}{v}_{n+1})$, thay vào đồng dư thức trên, ta cũng có $u_{n+2}^B\equiv -1(\mathrm{mod}{v}_{n+1})$ hay $v_{n+1}\mid u_{n+2}^B+1$. Quy nạp hoàn tất. (0,5)

Cuối cùng, ta cần chứng minh $(a,b)=\left(u_n^{24};u_n{v}_n\right)$ là HV2026 hay quy về
$$u_n^{25}{v}_n\mid u_n^{24\cdot 21}+u_n^{24}{v}_n^{24}+u_n^{24}.$$
Điều này tương đương với $u_n{v}_n\mid u_n^{480}+v_n^{24}+1$. Để ý rằng với $n\ge 2$ ta có
- $u_n^{480}+1=v_n{v}_{n-1}$ nên chia hết cho $v_n$, suy ra $v_n\mid u_n^{480}+v_n^{24}+1$.
- $v_n^{24}+1=u_{n+1}{u}_n$ nên chia hết cho $u_n$, suy ra $u_n\mid u_n^{480}+v_n^{24}+1$.

Cuối cùng, cũng từ $v_n^{24}+1=u_{n+1}{u}_n$, ta có $\gcd \left(u_n,v_n\right)=1$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên phép chia hết ở trên là đúng. Vì thế nên $\left(u_n^{24};u_n{v}_n\right)$ là HV2026. (0,5)