Xét hàm số $f:(0;+\infty )\to (0;+\infty )$ có $f(1)=2$ và thỏa mãn điều kiện
$$f(x+y)(f(xy)-f(x)f(y))=1-f(x)f(y),\forall x,y>0$$
a) Tính $f(2421)$. Chứng minh rằng $f(x)>\frac{n}{n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$ và $f(x)>1$ với mọi số thực dương $x$.
b) Đặt $g(x)=\frac{1}{f(x)-1}$, chứng minh rằng $g(2x)=2g(x)$, với mọi số thực dương $x$ và từ đó, tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta gọi cặp số nguyên dương $(a;b)$ có thứ tự là “HV2026” nếu $ab\mid a^{21}+b^{24}+a$.
a) Chứng minh rằng nếu $(a;b)$ là HV2026 thì $a$ là lũy thừa bậc 24 của một số nguyên dương và tồn tại các số nguyên dương $u,v$ là ước của $b$ sao cho $b\mid u^{480}+v^{24}+1$.
b) Xét dãy số $(u_n),(v_n)$ cho bởi: $u_1=1,v_1=2$, với mọi $n\ge 1$ thì $u_{n+1}=\frac{v_n^{24}+1}{u_n}$ và $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}^{480}+1}{v_n}$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 1$, các số $u_n,v_n$ nguyên dương và $(u_n^{24};u_n{v}_n)$ là HV2026.

Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang và nội tiếp đường tròn $(O)$. Giả sử có $E,F$ lần lượt thuộc các đoạn $AB,CD$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECD$ có tâm là điểm $I$ và tiếp xúc với $AB$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $FAB$ có tâm là điểm $J$ và tiếp xúc với $CD$. Hai đường tròn $(I),(J)$ này cắt nhau tại $P,Q$. Gọi $M$ là giao điểm của $FA,DE$, $N$ là giao điểm của $FB,CE$ và $K$ là giao điểm của $IE,JF$.
a) Chứng minh rằng $EF$ là trung trực của đoạn thẳng $MN$ và các đường thẳng $OK,EF,PQ$ đồng quy.
b) Chứng minh rằng các điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Tại chương trình Trại hè Hùng Vương lần thứ XX năm 2026, Ban tổ chức đã sắp xếp 26 buổi giao lưu và nghe giảng bài của các cựu học sinh đạt huy chương IMO của Việt Nam. Biết rằng có tất cả $n$ học sinh môn Toán đăng ký và vì theo sắp xếp chương trình, mỗi buổi sẽ có đúng 20 học sinh tham gia và 2 học sinh bất kỳ tham gia chung không quá 1 buổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ trong từng trường hợp sau (có xây dựng ví dụ cụ thể):
a) Mỗi học sinh được tham gia không quá 2 buổi.
b) Có một số học sinh được tham gia nhiều hơn 2 buổi.