Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho biết rằng đa thức $P(x)=x^3+x^2-2x-1$ có ba nghiệm thực $a>b>c$ với $c^2>a^2>b^2$. Chứng minh rằng $P(x)$ có một nghiệm bằng $a^2-2$ và $a^2-b=b^2-c=c^2-a=2$.

b) Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^2-b=b^2-c=c^2-a$. Chứng minh rằng $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$ và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=ab+bc+ca$.

Câu 2. (5,0 điểm) Với các số nguyên dương $a,b$ và $a>1$, đặt $f(n)=a^n-n^b$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p>a$, luôn tồn tại vô số $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ để $p\mid f(n)$.

b) Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ sao cho $f(n)\ne 0$, $f(n)\mid 2026^n-n^{2027}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $n>2026^{2027}$.

Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và có các đường phân giác trong $BE,CF$ cắt nhau tại $I$ $(E\in AC,F\in AB)$. Đoạn thẳng $AI,EF$ cắt nhau tại $D$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $DB,DC$. Đường thẳng $MN$ theo thứ tự cắt các đoạn thẳng $BA,BE,CF,CA$ tại $P,R,S,Q$.

a) Chứng minh: $M$ là trung điểm của $PR$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DRS$.

b) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $APQ,IRS,DRQ,DSP$ cùng đi qua một điểm $T$, đồng thời nếu $T\in BC$ thì $AB+AC=2\cdot BC$.

Câu 4. (5,0 điểm) Bảng 21×24 (21 hàng, 24 cột) được chia thành 21×24 ô vuông đơn vị. Người ta muốn tô một số ô vuông đơn vị của bảng bởi một trong các màu: xanh, đỏ, vàng (có thể có vài ô vuông đơn vị không được tô màu) sao cho hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây đồng thời xảy ra:

(i) Trong các ô vuông đơn vị cùng hàng với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó;

(ii) Trong các ô vuông đơn vị cùng cột với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó.

a) Gọi $x_1$, $x_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô xanh; $d_1$, $d_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô đỏ; $v_1$, $v_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô vàng. Chứng minh rằng

$$x_1+x_2+d_1+d_2+v_1+v_2\le 45.$$

b) Gọi $x$, $d$, $v$ theo thứ tự là số ô vuông đơn vị được tô bởi các màu xanh, đỏ, vàng và đặt $m=\min \{x,d,v\}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m$.