Câu 2. (5,0 điểm) Với các số nguyên dương $a,b$ và $a>1$, đặt $f(n)=a^n-n^b$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p>a$, luôn tồn tại vô số $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ để $p\mid f(n)$.

b) Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ sao cho $f(n)\ne 0$, $f(n)\mid 2026^n-n^{2027}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $n>2026^{2027}$.

a) (3,0 điểm) Vì $p>a$ nên $\gcd (p,a)=1$. Theo định lý Fermat nhỏ thì $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. (0,5 điểm)

Ta chọn $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $\{\begin{array}{l}n\equiv b(\mathrm{mod}p-1)\\ n\equiv a(\mathrm{mod}p)\end{array}$ (*). (0,5 điểm)

Theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ phương trình đồng dư này luôn có nghiệm vì $\gcd (p,p-1)=1$. Khi đó, ta có ngay $f(n)\equiv a^b-a^b\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. (1,5 điểm)

Rõ ràng có vô số $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thoả mãn hệ (*) nên cũng có vô số $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ để $p\mid f(n)$. (0,5 điểm)

Chú ý: Học sinh có thể chọn theo hướng khác (hướng ở trên để làm phần b) chẳng hạn: Chọn $n=(p-1)(pt-1)$ trong đó $t$ là số nguyên dương.

b) (2,0 điểm) Với mọi số nguyên tố $p>\max \{a,1013\}$, ta chọn $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thoả mãn $\{\begin{array}{l}n\equiv b(\mathrm{mod}p-1)\\ n\equiv a(\mathrm{mod}p)\end{array}$ như câu a) và $n$ đủ lớn để $n>2026^{2027}$. Khi đó, ta có $f(n)\ne 0$, $f(n)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ nên $p\mid 2026^n-n^{2027}$. (0,5 điểm)

Cũng theo cách chọn số $n$, ta có $2026^n-n^{2027}\equiv 2026^b-a^{2027}(\mathrm{mod}p)$. Do đó, $p\mid 2026^b-a^{2027}$. Vì điều này đúng với mọi số nguyên tố lẻ $p>a$ nên ta chọn $p>\left|2026^b-a^{2027}\right|$ thì có ngay $2026^b-a^{2027}=0$ hay $2^b\cdot 1013^b=a^{2027}$. (0,5 điểm)

Khi đó, $a$ chỉ có ước nguyên tố là 2 và 1013 nên đặt $a=2^x\cdot 1013^y$ với $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính số mũ của 2, 1013 ở hai vế được $b=2027x$ và $b=2027y$ hay $b=2027x=2027y$.

Do đó, phải có $x=y$ hay $b=2027x$, $a=2026^x$. (0,5 điểm)

Từ giả thiết ta được $a^n-n^b=2026^{nx}-n^{2027x}\mid 2026^n-n^{2027}$. Điều này chỉ xảy ra khi $x=1$ hay ta được $a=2026$, $b=2027$. Thử lại ta thấy $f(n)\ne 0$ với mọi số nguyên dương và $f(n)=2026^n-n^{2027}\mid 2026^n-n^{2027}$ với mọi số nguyên dương $n>2026^{2027}$.

Vậy $(a,b)=(2026,2027)$. (0,5 điểm)