Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_0=34$ và $x_n=\frac{x_{n-1}^3+26x_{n-1}+16}{x_{n-1}^2-x_{n-1}+34}$ với mọi $n\ge 1$.

Với mỗi $n\ge 0$, đặt $y_n=\frac{1}{x_0^2+30}+\frac{1}{x_1^2+30}+\cdots +\frac{1}{x_n^2+30}$. Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Ký hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, ta có
$$f(2x+f(y))+f(x)-y=f(3f(x)).$$

Xét số nguyên $n\ge 3$. Ký hiệu $1=a_1<\dots <a_k=n-1$ là tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Đặt $f(n)$ là ước chung lớn nhất của các số $a_1^3-1,\dots ,a_k^3-1$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(n)=2$.

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tia $AO,BO,CO$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Đường thẳng $XZ$ cắt $AC$ tại $E$; đường thẳng $XY$ cắt $AB$ tại $F$. Các đường thẳng $BE$, $CF$ cắt nhau tại $Q$. Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $P$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A,O,Q$ thẳng hàng.
b) Giả sử $PQ$, $EF$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng $T$ là trung điểm của $EF$.

Một chuyên gia ẩm thực cần đưa ra đánh giá về $n$ nhà hàng trong thành phố, trong đó $n$ là một số nguyên dương. Mỗi cặp nhà hàng được vị chuyên gia so sánh với nhau theo hai tiêu chí: độ ngon của món ăn và chất lượng phục vụ. Với một số cặp nhà hàng, vị chuyên gia không thể quyết định nhà hàng nào tốt hơn nhà hàng còn lại trong một tiêu chí nào đó, nhưng điều này không xảy ra đồng thời ở cả hai tiêu chí. Ngoài ra, nếu vị chuyên gia cho rằng nhà hàng $A$ tốt hơn nhà hàng $B$ ở một tiêu chí nào đó, và đồng thời cho rằng nhà hàng $B$ tốt hơn nhà hàng $C$ trong cùng tiêu chí đó, thì ông ta cũng đánh giá rằng nhà hàng $A$ tốt hơn nhà hàng $C$ trong tiêu chí ấy.

Chứng minh rằng tồn tại một nhà hàng $R$ sao cho mọi nhà hàng khác đều bị vị chuyên gia đánh giá kém hơn nhà hàng $R$ trong ít nhất một tiêu chí.