Ký hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, ta có
$$f(2x+f(y))+f(x)-y=f(3f(x)).$$

Giả sử tồn tại hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ký hiệu $P(x_0,y_0)$ là kết quả thu được khi thay $x=x_0;y=y_0$ trong điều kiện đã cho.
Giả sử $f(a)=f(b)$. So sánh $P(x,a)$ và $P(x,b)$ ta có $a=b$, hay $f$ là đơn ánh. (0.5 điểm)

$P(x,f(x)):f(2x+f(f(x)))=f(3f(x)),\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà $f$ là đơn ánh nên ta suy ra $f(f(x))+2x=3f(x),\forall x\in \mathbb{R}$, hay
$$f(f(x))=3f(x)-2x,\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$$ (1 điểm)

$P(x,0):f(2x+f(0))+f(x)=f(3f(x)).$
So sánh với $P(x,y)$ ta được
$$f(2x+f(y))-y=f(2x+f(0)),\forall x\in \mathbb{R}(\ast \ast )$$ (1 điểm)

Thế $x=0$ vào $(\ast \ast )$, ta có $f(f(y))-y=f(f(0)),\forall y\in \mathbb{R}$.
Kết hợp điều này với $(\ast )$, ta thu được $3f(y)-3y=f(f(0)),\forall y\in \mathbb{R}$.
Như vậy, $f(y)=y+c,\forall y\in \mathbb{R}$, trong đó $c=f(f(0))/3$. Thay vào phương trình hàm ban đầu, ta thấy $f(x)=x+c$ là một nghiệm hàm khi và chỉ khi
$$2x+y+c+c+x+c-y=3(x+c)+c,$$
với mọi số thực $x,y$, nghĩa là khi và chỉ khi $c=0$.
Vậy, bài toán có nghiệm hàm duy nhất là $f(x)=x$ với mọi $x$. (0.5 điểm)