Cho vật thể $(B)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=2\pi$, $x=\frac{5\pi }{2}$. Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left(2\pi \le x\le \frac{5\pi }{2}\right)$ cắt vật thể $(B)$ theo mặt cắt là một hình tròn bán kính $R=\sqrt{\cos x}$. Thể tích của vật thể $(B)$ đó là

Một rào chắn bê tông có hình dạng như trong hình, mỗi đơn vị tương ứng với 1 mét. Khối lượng của hàng rào là bao nhiêu tấn bê tông, nếu mật độ của bê tông là $\rho =2,3$ g/cm${}^3$? (làm tròn đến hàng đơn vị)



KQ: [______]

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 2)$ cắt vật thể đó có diện tích $S(x)=2024x$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một góc $30^{\circ }$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1,V_2$ với $V_1<V_2$. Gắn khối gỗ có dạng hình nêm vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau



a) Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y=\sqrt{R^2-x^2}$ với $-R\le x\le R$.
b) $MN=\sqrt{R^2-x^2}$.
c) Diện tích tam giác $MNP$ bằng $\frac{R^2-x^2}{2\sqrt{3}}$.
d) $V_1=\frac{\sqrt{3}{R}^3}{9}$.

Để chuẩn bị hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp $12A$ dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ.



Nền của lều trại là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng $3m$ và chiều dài bằng $6m$, đỉnh trại cách nền $2m$. Tính thể tích phần bên trong lều trại.

Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2$ m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC=4$ m, $CE=3$ m và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao 1 m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.