Đề Giữa Học Kỳ II Toán 12 THPT Yên Hòa 2025-2026

Cho vật thể $(B)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=2\pi$, $x=\frac{5\pi }{2}$. Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left(2\pi \le x\le \frac{5\pi }{2}\right)$ cắt vật thể $(B)$ theo mặt cắt là một hình tròn bán kính $R=\sqrt{\cos x}$. Thể tích của vật thể $(B)$ đó là

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$ là

Một cửa hàng tiện lợi thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với số nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $\overrightarrow{AB}=(3;1;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;6;0)$. Tính số đo góc $BAC$

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên đoạn $[-2;5]$ và $f(-2)=6$; $f(5)=3$. Khi đó ${\int }_{-2}^5{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định?

Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mà bác tài đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{2}$ đi qua điểm nào sau đây?

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{3^x}$ là

Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)+3x^2\right]dx=5$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=-1\\ z=t\end{array}$ có một vectơ chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+3z+4=0$.

Cho hai hàm số $u(x)=\frac{x^2+x+2}{x^2-1}$ và $v(x)={\log }_2\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)$.

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một khu sinh thái. Trên mô hình minh họa dưới đây, mặt hồ là phần hình phẳng (tô đậm) được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số $y=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$ (đơn vị đo độ dài trên mỗi trục là 1 km).

Cho $F(x)$, $G(x)$ lần lượt là một nguyên hàm của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$. Hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $R$.

Nhân dịp 8/3, các bạn trai lớp bạn Minh tự tay làm hộp quà để tặng các cô giáo của lớp. Mỗi hộp quà có dạng một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (như hình dưới đây), các mặt bên và mặt đáy dán giấy bóng kính trong suốt, bên trong hộp quà sẽ gắn vật trang trí. Để làm khung cho hộp quà, cần dùng một đoạn dây thép dài 1,6 $m$ và cắt thành ba đoạn: đoạn thứ nhất uốn thành viền của hình vuông đáy có cạnh bằng $x$ $(cm)$, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc $ASB$ và $CSD$ (coi các mối nối là không đáng kể). Tìm $x$ để phần không gian bên trong hộp quà có thể tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):ax+by+cz-2=0$ chứa hai điểm $A(-1;-3;5)$, $B(2;0;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x+y-5z-6=0$. Tính tổng $S=10a+20b+30c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha ):x+(m-1)y+nz+5=0$ và $(\beta ):4x+y+2z-3=0$. Biết rằng hai mặt phẳng này vuông góc và điểm $A(1;-3;1)$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng. Tính giá trị biểu thức $P=-14m+7n$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;2;-1)$, $B(-3;1;3)$, $C(2;4;6)$, $D(-9;-3;-1)$. $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T={\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+{\left(\frac{2MB}{MD}\right)}^2-{\left(\frac{MC\sqrt{3}}{MD}\right)}^2$$

Một công ty dự định làm các kỉ niệm chương có dạng hình vuông cạnh 20 $cm$, chính giữa bên trong là một hình phẳng được tô đậm như hình vẽ, bên trong hình phẳng này sẽ in tên và thành tích của những nhân viên xuất sắc trong năm. Biết rằng bốn cạnh của hình phẳng là bốn cung parabol có độ dài bằng nhau. Những điểm nằm trên cung $\widehat{AB}$ (cung parabol phía trên) có khoảng cách tới tâm hình vuông bằng khoảng cách tới cạnh $MN$; đồng thời hai điểm $A$, $B$ nằm trên các đường chéo của hình vuông. Tính diện tích phần hình phẳng đó (phần tô đậm) (đơn vị: $c{m}^2$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4x$ và trục hoành. Khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là $\frac{\pi a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.