Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một góc $30^{\circ }$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1,V_2$ với $V_1<V_2$. Gắn khối gỗ có dạng hình nêm vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau



a) Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y=\sqrt{R^2-x^2}$ với $-R\le x\le R$.
b) $MN=\sqrt{R^2-x^2}$.
c) Diện tích tam giác $MNP$ bằng $\frac{R^2-x^2}{2\sqrt{3}}$.
d) $V_1=\frac{\sqrt{3}{R}^3}{9}$.

Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2$ m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC=4$ m, $CE=3$ m và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao 1 m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le \pi$) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le 3$) là một hình chữ nhật có hai kích thước là $x$ và $2\sqrt{9-x^2}$.

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.



Chiều dài của đường hầm mô hình là $5\mathrm{cm}$, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x$ (đơn vị là $\mathrm{cm}$), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5 (m). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao $h(x)=3-\frac{2}{5}x$, độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là $S(x)$.

1. Một hộp trang trí dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 40 cm. Trong hộp có một quả cầu pha lê lớn được đặt vừa khít vào hộp sao cho quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Từ vị trí tâm $O$ của đáy hình chóp, có một sợi dây dùng để treo một quả cầu nhỏ, bên trong quả cầu đó chứa những lời chúc tốt đẹp. Hộp quà được treo cân bằng trong căn phòng sao cho đỉnh hình chóp ở vị trí cao nhất và đáy hình chóp song song với mặt đất. Khi đó tâm của quả cầu pha lê và quả cầu nhỏ đối xứng nhau qua $O$ và đồng thời tâm quả cầu nhỏ cách đều tất cả các cạnh hình chóp. Người ta đổ epoxy resin (một loại keo tổng hợp trong suốt dùng trong thủ công mỹ nghệ) vào đáy hộp để trang trí. Tính thể tích phần keo cần đổ, theo đơn vị lít.



2. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà có dạng hình chóp cụt cong tam giác đều. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình tam giác đều (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình tam giác đều có cạnh $L_b=30$ m, mặt đỉnh là hình tam giác đều có cạnh $L_t=21$ m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình tam giác có cạnh $L_{\min }=18$ m. Tòa nhà cao 30 m và các cạnh bên $c_1,c_2,c_3$ của tòa nhà nằm trên các đường parabol có trục đối xứng là trục của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).