Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=6\text{cm}$, $AD=10\text{cm}$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ). Xét tính tính đúng sai của các khẳng định sau



a) Phương trình của elip là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$.
b) Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=9$.
c) Quay đường elip quanh trục $MN$ tạo ra khối tròn xoay có thể tích là $60\pi \left({\text{cm}}^3\right)$.
d) Thể tích của vật trang trí là $V=75,4{\text{cm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tâm tại trung điểm MN, trục Ox dọc theo MN. Khi đó elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD với AB=6, AD=10 nên bán trục lớn a=5 (dọc MN), bán trục nhỏ b=3: phương trình x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1 (a sai). Đường tròn tiếp xúc AD, BC nên bán kính 3, tâm trùng tâm elip: x²+y²=9 (b đúng). Quay elip quanh trục lớn MN: V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π (c đúng). Miền gạch chéo là phần giữa elip và đường tròn, nên V_vật = 60π − (4/3)π·3³ = 60π − 36π = 24π ≈ 75,4 cm³ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD nên a = AD/2 = 5, b = AB/2 = 3, phương trình là x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tiếp xúc với AD và BC nên bán kính bằng AB/2 = 3, tâm trùng tâm elip (trung điểm MN), phương trình x² + y² = 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quay elip quanh trục lớn (a=5, b=3): V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π cm³.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vật trang trí là khối tạo bởi miền giữa elip và đường tròn: V = 60π − (4/3)π·3³ = 24π ≈ 75,4 cm³.