Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le \pi$) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$.

Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5 (m). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao $h(x)=3-\frac{2}{5}x$, độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là $S(x)$.

1. Một hộp trang trí dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 40 cm. Trong hộp có một quả cầu pha lê lớn được đặt vừa khít vào hộp sao cho quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Từ vị trí tâm $O$ của đáy hình chóp, có một sợi dây dùng để treo một quả cầu nhỏ, bên trong quả cầu đó chứa những lời chúc tốt đẹp. Hộp quà được treo cân bằng trong căn phòng sao cho đỉnh hình chóp ở vị trí cao nhất và đáy hình chóp song song với mặt đất. Khi đó tâm của quả cầu pha lê và quả cầu nhỏ đối xứng nhau qua $O$ và đồng thời tâm quả cầu nhỏ cách đều tất cả các cạnh hình chóp. Người ta đổ epoxy resin (một loại keo tổng hợp trong suốt dùng trong thủ công mỹ nghệ) vào đáy hộp để trang trí. Tính thể tích phần keo cần đổ, theo đơn vị lít.



2. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà có dạng hình chóp cụt cong tam giác đều. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình tam giác đều (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình tam giác đều có cạnh $L_b=30$ m, mặt đỉnh là hình tam giác đều có cạnh $L_t=21$ m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình tam giác có cạnh $L_{\min }=18$ m. Tòa nhà cao 30 m và các cạnh bên $c_1,c_2,c_3$ của tòa nhà nằm trên các đường parabol có trục đối xứng là trục của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 8 cm, chiều cao trong lòng cốc là 14 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc bằng bao nhiêu cm${}^3$, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $2x$.

Cho một mô hình $3D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.



Chiều dài của đường hầm mô hình là $5\text{cm}$, khi cắt đường hầm bởi một mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm ta được mặt cắt là một hình parabol, có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi mặt cắt parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x$ (đơn vị là cm), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^0$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4-\frac{1}{2}{x}^2}$. Tính thể tích vật thể trên.