Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^0$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4-\frac{1}{2}{x}^2}$. Tính thể tích vật thể trên.

Cho một vật thể trong không gian $Oxyz$. Gọi $\beta$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x=a,x=b(a<b)$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là $S(x)$. Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó, thể tích của phần vật thể $\beta$ được tính bởi công thức là

Một đường hầm mô hình như hình vẽ có chiều dài $5(\mathrm{cm})$. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được mặt cắt là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao. Ở đó hình parabol là hình phẳng được giới hạn bởi một đường parabol và đoạn thẳng nối hai điểm thuộc parabol đồng thời vuông góc với trục đối xứng của parabol đó được gọi là đáy, khoảng cách từ đỉnh của parabol xuống đáy gọi là chiều cao. Chiều cao của mỗi mặt cắt hình parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x(\mathrm{cm})$, với $x(\mathrm{cm})$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa mặt cắt.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=2$ và $x=6$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($2\le x\le 6$) thì được thiết diện là một hình tam giác đều có cạnh là $x\sqrt{8x^2-6}$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,x=1$, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 1)$ là một tam giác đều có cạnh bằng $x$.

Một khối bê tông có chiều cao 2 m được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ m $(0\le x\le 2)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 5 m và chiều rộng bằng $(0,5{)}^x$ m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích (đơn vị m${}^3$) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một khối bê tông có chiều cao 2 m được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ m $(0\le x\le 2)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 3 m và chiều rộng bằng $(0,8{)}^x$ m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích (đơn vị m³) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).