Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$ với $x\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$ (a đúng). Nguyên hàm tổng quát là $\int f(x)dx=2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định b thiếu giá trị tuyệt đối nên chỉ đúng trên khoảng $x>1$, không phải nguyên hàm trên toàn tập xác định (b sai). Với $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$: $F(2)=4+0+C=1\Rightarrow C=-3$, nên $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$ (c đúng). Phương trình $F(x)=2x+2$: $2x+3\ln |x-1|-3=2x+2\Rightarrow \ln |x-1|=\frac{5}{3}\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, cho hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$ (d đúng).
a) $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$.
b) Nguyên hàm đúng là $2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định thiếu giá trị tuyệt đối nên không đúng trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
c) $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$, $F(2)=4+C=1\Rightarrow C=-3$, được $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$.
d) $3\ln |x-1|=5\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$.