Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}+C$, hai kết quả khác nhau. Các tính chất tuyến tính của tích phân (B, C, D) đều đúng. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(2x+1)f^2(x)$, suy ra ${\left(-\frac{1}{f(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}=2x+1$, nên $-\frac{1}{f(x)}=x^2+x+C$. Với $f(1)=-0,5$: $-\frac{1}{f(1)}=2=1+1+C\Rightarrow C=0$. Vậy $f(x)=-\frac{1}{x^2+x}=-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)$. Do đó ${\sum }_{k=1}^{2025}f(k)=-\left(1-\frac{1}{2026}\right)=-\frac{2025}{2026}$, tức $a=-2025,b=2026$. Kiểm tra: A sai vì $a=-2025\notin (-2025;2025)$; B đúng vì $b-a=2026-(-2025)=4051$; C sai vì $-\frac{2025}{2026}>-1$; D sai vì $a+b=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$: $f(x)=x^3-2\ln x+C_2$, từ $f(1)=2$ suy ra $C_2=1$, nên $f(4)=64-2\ln 4+1=65-4\ln 2$. Trên $(-\infty ;0)$: $f(x)=x^3-2\ln |x|+C_1$, từ $f(-2)=-8-2\ln 2+C_1=-8$ suy ra $C_1=2\ln 2$, nên $f(-1)=-1+2\ln 2$. Do đó $3f(-1)+f(4)=3(-1+2\ln 2)+(65-4\ln 2)=62+2\ln 2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{2x+1}{x-2}=\frac{2(x-2)+5}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$. Do đó $\int \frac{2x+1}{x-2}dx=2x+5\ln |x-2|+C$, suy ra $a=2$, $b=5$ và $S=a+b=7$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<2$: $F(x)=x^2+3x+C$. Vì $F(0)=3$ nên $C=3$, do đó $F(x)=x^2+3x+3$ với $x<2$, suy ra $F(-5)=25-15+3=13$. Với $x\ge 2$: $F(x)=x^4-x+K$. Vì $F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục tại $x=2$: $F(2^{-})=4+6+3=13$ và $F(2^{+})=16-2+K=14+K$, suy ra $K=-1$. Do đó $F(3)=81-3-1=77$. Vậy $F(3)-5F(-5)=77-65=12$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm hai vế theo $x$: $f(x)={\left(\frac{5^x}{\ln 5}+3x\right)}^{\prime }=5^x+3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S^{\prime }(t)=0,5604e^{0,006t}$. Một nguyên hàm là $S(t)=\frac{0,5604}{0,006}{e}^{0,006t}+C=93,4e^{0,006t}+C$. Vì năm 2015 ($t=0$) dân số là $93,4$ triệu người nên $S(0)=93,4\Rightarrow 93,4+C=93,4\Rightarrow C=0$. Vậy $S(t)=93,4e^{0,006t}$.
a) Đúng: $S(t)$ là một nguyên hàm của $S^{\prime }(t)$ theo định nghĩa (và $S^{\prime }(t)$ chính là đạo hàm của $S(t)$).
b) Sai: Lượng tăng dân số từ 2015 đến 2035 là $S(20)-S(0)=93,4(e^{0,12}-1)\approx 93,4\times 0,127497\approx 11,91$ triệu người, không phải $0,63$ triệu người (số $0,63$ là $S^{\prime }(20)\approx 0,5604e^{0,12}\approx 0,632$ triệu người/năm — tốc độ tăng, không phải lượng tăng).
c) Sai: Hằng số $C=0$, nên $S(t)=93,4e^{0,006t}$, không có số hạng $+93,4$.
d) Sai: $S(20)=93,4e^{0,12}\approx 93,4\times 1,127497\approx 105,3$ triệu người (làm tròn đến hàng phần mười), không phải $105,2$ triệu người.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $S(t)$ là một nguyên hàm của $S^{\prime }(t)$ vì $S^{\prime }(t)=(S(t){)}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lượng tăng từ 2015 đến 2035: $S(20)-S(0)=93,4(e^{0,12}-1)\approx 11,91$ triệu người $\ne 0,63$. (Số $0,63$ chỉ là tốc độ tăng $S^{\prime }(20)$.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $S(0)=93,4$ suy ra $C=0$, vậy $S(t)=93,4e^{0,006t}$, không có $+93,4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(20)=93,4e^{0,12}\approx 105,3$ triệu người, không phải $105,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $F^{\prime }(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+b)e^x=\left(x^2+(a+2)x+(a+b)\right)e^x$. Để $F^{\prime }(x)=f(x)=\left(x^2+3x+4\right)e^x$ thì $a+2=3\Rightarrow a=1$ và $a+b=4\Rightarrow b=3$. Vậy $S=a+b=1+3=4$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{6x}dx=\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$ vì ${\left(\frac{1}{6}{e}^{6x}\right)}^{\prime }=e^{6x}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=x^2$ là $F(x)=\frac{x^3}{3}+C$. Vì $F(-1)=0$ nên $-\frac{1}{3}+C=0\Rightarrow C=\frac{1}{3}$. Do đó $F(2)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F_1,F_2$ cùng là nguyên hàm của $f(x)=\sin x$ nên $F_1(x)-F_2(x)=C$ (hằng số). Theo giả thiết $F_1(0)-F_2(0)=5$ nên $F_1(x)=F_2(x)+5$ với mọi $x$. Do đó $F_1\left(\frac{\pi }{3}\right)=F_2\left(\frac{\pi }{3}\right)+5$. Lại có $F_2(\pi )-F_2\left(\frac{\pi }{3}\right)={\int }_{\pi /3}^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_{\pi /3}^{\pi }=\cos \frac{\pi }{3}-\cos \pi =\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$. Suy ra $F_2\left(\frac{\pi }{3}\right)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$, và $F_1\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}+5=\frac{13}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}+C$ và $\int 5^{x}dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C$. Vậy một nguyên hàm của $f(x)=x^5+5^x$ là $F(x)=\frac{x^6}{6}+\frac{5^x}{\ln 5}$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=x^5+5^x=f(x)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;2)$, một nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{x-2}$ là $F(x)=\ln |x-2|+C=\ln (2-x)+C$. Với $F(0)=\ln 2+C=\ln 2$ suy ra $C=0$, nên $F(x)=\ln (2-x)$. Do đó $F(1)=\ln 1=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 3+2+m=5-2 ⟹ m=-2. Với x<1: F(x)=5x-x²+C; F(-2)=-10-4+C=-10 ⟹ C=4, nên F(1⁻)=8. Với x≥1: F(x)=x³+x²-2x+D; F(1)=D=8. Vậy F(3)=27+9-6+8=38.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^x\mathrm{d}x=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ và $\int 1\mathrm{d}x=x+C$. Vậy $\int \left(3^x+1\right)\mathrm{d}x=\frac{3^x}{\ln 3}+x+C$. Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 14: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^x\left(3e^{2x-1}-2\right)=3e^{-1}{e}^{3x}-2e^x$. Do đó $\int f(x)dx=3e^{-1}\cdot \frac{e^{3x}}{3}-2e^x+C=e^{-1}{e}^{3x}-2e^x+C$, suy ra $a=\frac{1}{e}$, $b=-2$. Khi đó vectơ $\vec{u}=(ae;b)=(1;-2)$ nên $\left|\vec{u}\right|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$ và $\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}x=\int ({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}x=\tan x-x+C$. Vậy $\int f(x)\mathrm{d}x=e^x+\tan x-x+C$, tương ứng phương án D. Kiểm tra: đạo hàm của $e^x+\tan x-x$ là $e^x+{\sec }^{2}x-1=e^x+{\tan }^{2}x=f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Với $f(x)=2^x$ thì $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=\frac{2^x\ln 2}{\ln 2}=2^x=f(x)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc nên $a(t)=v^{\prime }(t)$. Xét từng ý của Phần II - Câu 4:
- a) $\int a(t)dt=\int v^{\prime }(t)dt=v(t)+C$ → đúng.
- b) $\int v(t)dt$ là nguyên hàm của vận tốc (liên quan đến dời chỗ), không phải $a(t)+C$ → sai.
- c) Theo định nghĩa nguyên hàm, $\int v^{\prime }(t)dt=v(t)+C$ → đúng.
- d) Vì $v^{\prime }(t)=a(t)$ nên $\int v^{\prime }(t)dt=a(t)+C$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a(t)=v^{\prime }(t)$ nên $\int a(t)dt=\int v^{\prime }(t)dt=v(t)+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int v(t)dt$ là nguyên hàm của vận tốc (liên quan đến dời chỗ), không bằng $a(t)+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm, $\int v^{\prime }(t)dt=v(t)+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $v^{\prime }(t)=a(t)$ nên $\int v^{\prime }(t)dt=a(t)+C$.