Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=1$, cực đại tại $x=2$ với $y(2)=5$; khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đạo hàm có hai nghiệm $0$ và $2$: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=3ax(x-2)=3a{x}^2-6ax$, suy ra $b=-3a$, $c=0$. Vì $y(0)=d=1$ và $y(2)=8a+4b+d=8a-12a+1=-4a+1=5$ nên $a=-1$, do đó $b=3$. Vậy $y=-x^3+3x+1$, đáp án D. Kiểm tra: $y^{\prime }=-3x^2+3$ âm khi $x<-1$... thực ra $y^{\prime }=-3x(x-2)$: âm trên $(-\infty ,0)$, dương trên $(0,2)$, âm trên $(2,+\infty )$ — khớp bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có hệ số a>0 (đi lên từ trái sang phải), đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, và cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án còn lại: B có $y(0)=-1$; C, D có $a<0$ (đi xuống từ trái sang phải) nên loại. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh trái xuống và nhánh phải lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương nên $d=y(0)>0$. Hàm có cực đại tại $x_1<0$ và cực tiểu tại $x_2>0$ (với $x_2>|x_1|$), tức $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$. Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (vì $x_2>|x_1|$) nên $b<0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$ nên $c<0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với hệ số a>0 (nhánh phải đi lên), có cực đại tại hoành độ dương nhỏ và cực tiểu tại hoành độ dương lớn hơn, đồng thời f(0)=1 (đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, cắt trục hoành gần gốc về phía trái). Xét phương án D: y=½x³−3x²+9/2x+1 có y'=3/2x²−6x+9/2=3/2(x−1)(x−3), nên cực đại tại x=1, cực tiểu tại x=3, f(0)=1, và f(−0,2)≈−0,024<0 nên đồ thị cắt trục hoành gần x≈−0,2 — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác: A có cực đại tại x≈−2,53 (âm) nên sai; B có f(0)=1 nhưng y'=3x²−6x=3x(x−2) cho cực đại tại x=0 (đúng trên trục) và hệ số khác; C có a<0 nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên ở hai đầu nên $a>0$. Hàm số có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, tức $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu nên $\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương nên $d>0$. Tổng hai nghiệm cực trị $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}$; từ hình, điểm cực tiểu (bên phải) nằm xa gốc hơn điểm cực đại (bên trái) nên $x_1+x_2>0\Rightarrow b<0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Đồ thị có cực tiểu rồi cực đại, cả hai đều tại $x>0$, tức $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm dương. Theo Vi-ét: tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$; tích nghiệm $=\frac{c}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $c<0$. Vậy trong các hệ số có đúng 2 số âm là $a$ và $c$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy: tiệm cận đứng $x=2$; trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến; trên nhánh trái hàm số đi từ $2$ (khi $x\to -\infty$, tiệm cận ngang $y=2$) xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$; trên nhánh phải hàm số từ $+\infty$ khi $x\to 2^{+}$ giảm xuống tiệm cận ngang $y=2$ khi $x\to +\infty$.

Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (đáp án C):
- $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. ✓
- Tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. ✓
- Khi $x\to 2^{-}$: tử $\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$. ✓
- Khi $x\to 2^{+}$: $y\to +\infty$. ✓

Loại các đáp án khác:
- A: $y=\frac{2x-7}{x-2}$, khi $x\to 2^{-}$ tử $\to -3<0$ nên $y\to +\infty$, không khớp bảng.
- B: $y=\frac{2x+1}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$, sai.
- D: $y=\frac{1-2x}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ nên đồng biến, sai.

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{2x+1}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$ nên $-\frac{d}{c}=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{c}=1$. Trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến nên $ad-bc<0$. Chọn $c=d=a=1$: $y=\frac{x+b}{x+1}=1+\frac{b-1}{x+1}$. Để nghịch biến cần $b-1>0\Rightarrow b>1$. Vậy $0<a=1<b$, khẳng định đúng là $0<a<b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải ($x>1$) nằm trên đường $y=1$ và giảm dần, tiến tới $+\infty$ khi $x\to 1^{+}$; nhánh trái đi qua gốc toạ độ (cắt trục hoành tại $x=0$) rồi xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$. Xét $y=\frac{x}{x-1}$ (phương án D): TXĐ $x\ne 1$; tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y=0\iff x=0$ nên đồ thị đi qua gốc toạ độ; $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh; với $x>1$ thì $y>1$ và $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$; với $x<1$ thì $y<1$ và $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$. Khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác: $y=\frac{x}{1-x}$ có tiệm cận ngang $y=-1$; $y=\frac{x+1}{1-x}$ có tiệm cận ngang $y=-1$ và cắt trục hoành tại $x=-1$; $y=\frac{x+1}{x-1}$ cắt trục hoành tại $x=-1$, không đi qua gốc toạ độ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-4$, giới hạn bên trái $+\infty$, bên phải $-\infty$; cực tiểu $y=24$ tại $x=-10$; cực đại $y=0$ tại $x=2$; $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Xét $y=\frac{x^2-4x+4}{-x-4}$ (đáp án B): $y^{\prime }=\frac{(2x-4)(-x-4)+(x^2-4x+4)}{(x+4{)}^2}=\frac{-(x^2+8x-20)}{(x+4{)}^2}=\frac{-(x-2)(x+10)}{(x+4{)}^2}$. Khi đó $y^{\prime }=0$ tại $x=-10$ và $x=2$; dấu $y^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;-10)$, dương trên $(-10;-4)$ và $(-4;2)$, âm trên $(2;+\infty )$ — khớp bảng. Giá trị: $y(-10)=\frac{144}{6}=24$ (cực tiểu), $y(2)=0$ (cực đại). Giới hạn: khi $x\to (-4{)}^{-}$, mẫu $-x-4\to 0^{+}$ nên $y\to +\infty$; khi $x\to (-4{)}^{+}$, $y\to -\infty$; khi $x\to \pm \infty$, $y\sim -x$ nên $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Tất cả khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y^{\prime }=\frac{-x^2-8x+16}{(x+4{)}^2}$ với nghiệm $x=-4\pm 4\sqrt{2}$ không nguyên; C có $y^{\prime }=\frac{x^2+8x-24}{(x+4{)}^2}$ với nghiệm không phải $-10,2$; D là $-B$ nên dấu đạo hàm ngược với bảng (và $y(-10)=-24$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-4$, cực đại tại $x=-9$ với $y=-20$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=0$. Dấu $y^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;-9)$, âm trên $(-9;-4)$ và $(-4;1)$, dương trên $(1;+\infty )$, nên $y^{\prime }\propto \frac{(x+9)(x-1)}{(x+4{)}^2}=\frac{x^2+8x-9}{(x+4{)}^2}$. Xét $y=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+4)-(x^2-2x+1)}{(x+4{)}^2}=\frac{x^2+8x-9}{(x+4{)}^2}$, đúng dấu bảng biến thiên. Kiểm tra giá trị: $y(-9)=\frac{81+18+1}{-5}=-20$ và $y(1)=\frac{1-2+1}{5}=0$. Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+(4-a)}{(x-2{)}^2}$. Bảng biến thiên yêu cầu $y^{\prime }>0$ trên mỗi khoảng và trên mỗi nhánh hàm số đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, tức là khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$.
- A: $y=\frac{x^2-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}$; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ (không phù hợp).
- B: $y=\frac{x^2-4x+2}{x-2}=x-2-\frac{2}{x-2}$; $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ mọi $x\ne 2$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$; khi $x\to 2^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to 2^{+}$, $y\to -\infty$. Hoàn toàn khớp bảng biến thiên.
- C: $y=x+1+\frac{2}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
- D: $y=x-2+\frac{1}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các hàm số, tất cả đều có tiệm cận đứng $x=2$ (khớp đồ thị). Phân tích từng hàm:
- A: $y=\frac{x^2-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên $y=x+2$, cực tiểu $y=6$ tại $x=3$ — không khớp.
- B: $y=\frac{x^2-4x+2}{x-2}=x-2-\frac{2}{x-2}$, có $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng, không có cực trị — không khớp đồ thị (đồ thị có nhánh bên phải đi lên từ $+\infty$, giảm rồi tăng qua cực tiểu).
- C: $y=\frac{x^2-x}{x-2}=x+1+\frac{2}{x-2}$, cực tiểu tại $x=2+\sqrt{2}\approx 3,41$ với $y\approx 5,83$ — không khớp.
- D: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên $y=x-2$ (đường thẳng dốc 45° như đường nét đứt trên hình), có cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=3-2+\frac{1}{1}=2$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$ — khớp hình dạng đồ thị: nhánh phải có đáy cực tiểu quanh $x=3$, nhánh trái đi xuống dưới, tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$ (đường nét đứt trên hình).
Vậy đồ thị là của hàm số ở phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng (do mẫu $x+1$, tức $x=-1$; nhãn trong bản in hiển thị 'x = 1', nhiều khả năng thiếu dấu trừ), nên xét bốn phương án. Xét $y=\frac{-x^2}{x+1}$: chia đa thức, $y=-x+1-\frac{1}{x+1}$, nên có tiệm cận xiên $y=-x+1$ (giảm dần) và tiệm cận đứng $x=-1$. Đồ thị đi qua điểm $(-2;4)$ (đường đứt nét trên hình): tại $x=-2$, $y=\frac{-4}{-1}=4$ — khớp đồ thị. Đồng thời $y(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ, đúng như hình. Các phương án A, B có tiệm cận xiên $y=x-2$ (dạng tăng), C có $y=x$ và $y(0)=2$, đều không khớp đồ thị giảm dần đi qua gốc. Vậy hàm số là $y=\frac{-x^2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, đồ thị đi qua $(0;2)$, cắt trục hoành tại $x=1$, và có điểm $(3;-\frac{5}{2})$ (theo đường nét đứt).

Kiểm tra từng đáp án tại $x=0$:
- A: $y=\frac{4}{1}=4$ (loại)
- B: $y=\frac{3}{1}=3$ (loại)
- C: $y=\frac{2}{1}=2$ (thỏa)
- D: $y=\frac{-1}{1}=-1$ (loại)

Chỉ có đáp án C thỏa giao điểm với trục $Oy$. Kiểm tra thêm với $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$:
- $y(1)=\frac{-1-1+2}{2}=0$ ✓ (cắt trục hoành tại $x=1$)
- $y(3)=\frac{-9-3+2}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$ ✓ (điểm $(3;-\frac{5}{2})$)
- Tiệm cận đứng $x=-1$ ✓, tiệm cận xiên $y=-x$ (vì $-x^2-x+2=(x+1)(-x)+2$), phù hợp nhánh đồ thị đi xuống khi $x\to \pm \infty$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;1)$, nên $f^{\prime }(-1)=0$, $f^{\prime }(1)=0$, $f(-1)=2$, $f(1)=1$.
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Từ $f^{\prime }(1)=3a+2b+c=0$ và $f^{\prime }(-1)=3a-2b+c=0$ suy ra $b=0$, $c=-3a$.
$f(1)=a+c+d=d-2a=1$; $f(-1)=-a+3a+d=d+2a=2$. Giải hệ: $a=\frac{1}{4}$, $d=\frac{3}{2}$, suy ra $b=0$, $c=-\frac{3}{4}$.
Vậy $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(x^2-1)$, cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$.
a) Đúng: cực tiểu tại $x=1$. b) Sai: $f(0)=\frac{3}{2}$ nên giao điểm với $Oy$ là $(0;\frac{3}{2})$. c) Đúng: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$. d) Sai: $2a+3b+c=-\frac{1}{4}\ne 9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$ (đường nét đứt chỉ tới điểm $(1;1)$), nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=\frac{3}{2}$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;\frac{3}{2})$, không phải $(0;1)$. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{4}(x^2-1)$, nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x<-1$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=\frac{1}{4}$, $b=0$, $c=-\frac{3}{4}$: $2a+3b+c=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}\ne 9$. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f' có nghiệm x=-2 và x=0, f(-2)=0 (cực tiểu), f(0)=4 (cực đại), f(-∞)=+∞, f(+∞)=-∞ nên a<0. Vì f(0)=4 nên d=4. f'(x)=3ax²+2bx+c có hai nghiệm -2 và 0 nên f'(x)=3a·x·(x+2), suy ra c=0, b=3a. f(-2)=-8a+4b+d=-8a+12a+4=4a+4=0 ⟹ a=-1, b=-3, c=0, d=4. Vậy f(x)=-x³-3x²+4.
a) Sai: hàm số không có giá trị lớn nhất trên ℝ (chỉ đạt cực đại bằng 4 tại x=0, khi x→-∞ thì f(x)→+∞).
b) Đúng: y=2 cắt đồ thị tại 3 điểm vì trên mỗi khoảng (-∞;-2), (-2;0), (0;+∞) phương trình f(x)=2 đều có đúng một nghiệm (f(x) đơn điệu trên từng khoảng và 2 nằm giữa giá trị hai đầu).
c) Đúng: a=-1<0, b=-3<0, c=0, d=4>0 nên có đúng hai số âm.
d) Đúng: f(-4)=-(-4)³-3·(-4)²+4=64-48+4=20, nên đồ thị đi qua (-4;20).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không có GTLN trên ℝ vì f(x)→+∞ khi x→-∞; giá trị 4 chỉ là cực đại tại x=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=2 có đúng một nghiệm trên mỗi khoảng (-∞;-2), (-2;0), (0;+∞) do f đơn điệu trên từng khoảng, tổng cộng 3 điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên suy ra a=-1, b=-3, c=0, d=4: đúng hai hệ số âm là a và b.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-4)=64-48+4=20 nên đồ thị đi qua điểm (-4;20).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên (-∞;3) và (3;+∞), tiệm cận đứng x=3, tiệm cận ngang y=1/2, giới hạn khi x→3⁻ là -∞ và x→3⁺ là +∞.

Ta có f(x)=(ax-1)/(bx+c). Tiệm cận ngang y=a/b=1/2 nên a=b/2. Tiệm cận đứng x=-c/b=3 nên c=-3b.

f'(x)=[a(bx+c)-b(ax-1)]/(bx+c)²=(ac+b)/(bx+c)². Hàm nghịch biến nên ac+b<0: (b/2)(-3b)+b=b(1-3b/2)<0 ⟺ b(2-3b)<0 ⟺ b>2/3 hoặc b<0.

a) Sai: hàm nghịch biến trên (-∞;3), không phải (-∞;1/2).
b) Sai: tiệm cận đứng là x=3, không phải x=1/2.
c) Đúng: f(x)=0 ⟺ ax-1=0 ⟺ x=1/a=2/b. Nếu b>2/3 thì 2/b<3; nếu b<0 thì 2/b<0<3. Vậy hoành độ giao điểm luôn nhỏ hơn 3.
d) Đúng: từ điều kiện ac+b<0 suy ra b>2/3 hoặc b<0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm nghịch biến trên (-∞;3) và (3;+∞), không phải trên (-∞;1/2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là x=3 (nơi f' đổi dấu và f→±∞), không phải x=1/2. x=1/2 chỉ xuất hiện trong kết luận về b ở câu d.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=0 ⟺ ax-1=0 ⟺ x=1/a=2/b (vì a=b/2). Với b>2/3 thì 2/b<3; với b<0 thì 2/b<0<3. Vậy giao điểm với trục hoành luôn có hoành độ nhỏ hơn 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ a=b/2, c=-3b và điều kiện nghịch biến ac+b<0 ta được b(2-3b)<0, tức b>2/3 hoặc b<0.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2-2x+2}{-x+1}=\frac{2x^2-2x+2}{1-x}$. Chia đa thức: $(1-x)(-2x)=2x^2-2x$, dư $2$, nên $y=-2x+\frac{2}{1-x}$.

$a)$ $y^{\prime }=-2+\frac{2}{(1-x{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff (1-x{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. Khi $x<0$ hoặc $x>2$ thì $(1-x{)}^2>1$ nên $y^{\prime }<0$: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Đúng.

$b)$ $y^{\prime \prime }=\frac{4}{(1-x{)}^3}$: tại $x=0$, $y^{\prime \prime }=4>0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $y^{\prime \prime }=-4<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Khẳng định 'cực tiểu tại $x=2$' SAI.

$c)$ Hàm đồng biến trên $\left[\frac{3}{2};2\right]$, nghịch biến trên $\left[2;\frac{5}{2}\right]$ nên GTNN trên đoạn đạt tại một đầu mút. $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{9}{4}-3+2}{-\frac{3}{2}+1}=\frac{7/2}{-1/2}=-7$; $y\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{25}{4}-5+2}{-\frac{5}{2}+1}=\frac{19/2}{-3/2}=-\frac{19}{3}$. Vì $-7<-\frac{19}{3}$ nên GTNN trên đoạn bằng $-7$, không phải $-\frac{19}{3}$. SAI.

$d)$ Vì $y=-2x+\frac{2}{1-x}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{1-x}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-2x$, tức $2x+y=0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-2+\frac{2}{(1-x{)}^2}<0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=\frac{4}{(1-x{)}^3}$, tại $x=2$ có $y^{\prime \prime }=-4<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại (cực tiểu tại $x=0$). SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $\left[\frac{3}{2};2\right]$, nghịch biến trên $\left[2;\frac{5}{2}\right]$ nên GTNN đạt tại đầu mút: $y\left(\frac{3}{2}\right)=-7$, $y\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{19}{3}$. Vì $-7<-\frac{19}{3}$ nên GTNN bằng $-7$, không phải $-\frac{19}{3}$. SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-2x+\frac{2}{1-x}$ nên tiệm cận xiên là $y=-2x$ tức $2x+y=0$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đạt cực đại tại $(0;2)$ và cực tiểu tại $(2;-2)$, đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$.

- $y(0)=2\Rightarrow d=2$.
- $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Cực đại tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=c=0$.
- Cực tiểu tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=12a+4b+c=0\Rightarrow 3a+b=0$.
- $y(2)=8a+4b+c+d=-2\Rightarrow 8a+4b+2=-2\Rightarrow 2a+b=-1$.

Trừ hai phương trình: $(3a+b)-(2a+b)=0-(-1)\Rightarrow a=1$, suy ra $b=-3$.

Vậy $S=a+b=1+(-3)=-2$.