Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy: tiệm cận đứng $x=2$; trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến; trên nhánh trái hàm số đi từ $2$ (khi $x\to -\infty$, tiệm cận ngang $y=2$) xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$; trên nhánh phải hàm số từ $+\infty$ khi $x\to 2^{+}$ giảm xuống tiệm cận ngang $y=2$ khi $x\to +\infty$.

Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (đáp án C):
- $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. ✓
- Tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. ✓
- Khi $x\to 2^{-}$: tử $\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$. ✓
- Khi $x\to 2^{+}$: $y\to +\infty$. ✓

Loại các đáp án khác:
- A: $y=\frac{2x-7}{x-2}$, khi $x\to 2^{-}$ tử $\to -3<0$ nên $y\to +\infty$, không khớp bảng.
- B: $y=\frac{2x+1}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$, sai.
- D: $y=\frac{1-2x}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ nên đồng biến, sai.

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{2x+1}{x-2}$.