Bảng biến thiên sau là của một trong bốn hàm số sau. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$y^{\prime }$	$+$	$+$
$y$	$-\infty$ ↗	$+\infty$	$-\infty$ ↗ $+\infty$

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+(4-a)}{(x-2{)}^2}$. Bảng biến thiên yêu cầu $y^{\prime }>0$ trên mỗi khoảng và trên mỗi nhánh hàm số đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, tức là khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$.
- A: $y=\frac{x^2-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}$; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ (không phù hợp).
- B: $y=\frac{x^2-4x+2}{x-2}=x-2-\frac{2}{x-2}$; $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ mọi $x\ne 2$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$; khi $x\to 2^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to 2^{+}$, $y\to -\infty$. Hoàn toàn khớp bảng biến thiên.
- C: $y=x+1+\frac{2}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
- D: $y=x-2+\frac{1}{x-2}$, $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}<0$ khi $x$ gần 2 (không phù hợp).
Vậy đáp án là B.