Cho hàm số $f(x)=\frac{ax-1}{bx+c}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên (-∞;3) và (3;+∞), tiệm cận đứng x=3, tiệm cận ngang y=1/2, giới hạn khi x→3⁻ là -∞ và x→3⁺ là +∞.

Ta có f(x)=(ax-1)/(bx+c). Tiệm cận ngang y=a/b=1/2 nên a=b/2. Tiệm cận đứng x=-c/b=3 nên c=-3b.

f'(x)=[a(bx+c)-b(ax-1)]/(bx+c)²=(ac+b)/(bx+c)². Hàm nghịch biến nên ac+b<0: (b/2)(-3b)+b=b(1-3b/2)<0 ⟺ b(2-3b)<0 ⟺ b>2/3 hoặc b<0.

a) Sai: hàm nghịch biến trên (-∞;3), không phải (-∞;1/2).
b) Sai: tiệm cận đứng là x=3, không phải x=1/2.
c) Đúng: f(x)=0 ⟺ ax-1=0 ⟺ x=1/a=2/b. Nếu b>2/3 thì 2/b<3; nếu b<0 thì 2/b<0<3. Vậy hoành độ giao điểm luôn nhỏ hơn 3.
d) Đúng: từ điều kiện ac+b<0 suy ra b>2/3 hoặc b<0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm nghịch biến trên (-∞;3) và (3;+∞), không phải trên (-∞;1/2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là x=3 (nơi f' đổi dấu và f→±∞), không phải x=1/2. x=1/2 chỉ xuất hiện trong kết luận về b ở câu d.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=0 ⟺ ax-1=0 ⟺ x=1/a=2/b (vì a=b/2). Với b>2/3 thì 2/b<3; với b<0 thì 2/b<0<3. Vậy giao điểm với trục hoành luôn có hoành độ nhỏ hơn 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ a=b/2, c=-3b và điều kiện nghịch biến ac+b<0 ta được b(2-3b)<0, tức b>2/3 hoặc b<0.