Đề Cương Ôn Tập Học Kỳ I - Toán 12 - 2026-2027 (THPT Văn Nội, Sở GD&ĐT Hà Nội) - Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số - Bài 1: Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hàm số $y=-x^3+3x^2$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={\left(1-x\right)}^2{\left(x+1\right)}^3\left(3-x\right)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[-2;2\right]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=f(x)$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=-x^2-4$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ đạt cực đại tại điểm

Hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số $y=f(2-3x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Một vật dao động có phương trình là $x(t)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)$ cm, t có đơn vị là giây. Mệnh đề nào sau đây đúng? Trong khoảng 2 giây đến 3 giây, vận tốc của vật tăng hay giảm?

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Tìm điểm cực tiểu $x_{CT}$ của hàm số $y=x^3+3x^2-9x$

Gọi $m$, $n$ lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}$. Tính giá trị biểu thức $P=m^3+n^3$.

Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$ đạt cực đại tại $x=1$.

Cho hàm số $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$. Độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng. (làm tròn đến hàng phần mười)

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị của $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$?

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ biết $f^{\prime }(x)=x^{2017}(x-1{)}^{2018}(x+1)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0(s)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126(s)$ cho bởi hàm số sau đây:
$$v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,(v\text{được tıˊnh ba˘ˋng ft/s, 1 feet}=0,3048\text{m}).$$
Gọi $(a,b)$ là khoảng thời gian gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi. Tính $T=a+b$?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2;2]$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^2-2x+3$ trên đoạn $[2;4]$ là

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x+\frac{4}{x}$ trên $(-4;0)$ là

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị trên $[-3;3]$ như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $f(x)$ trên $[-3;3]$ lần lượt là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng:

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là $P(n)=800-20n(g)$. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x^3+3x^2-12x+2$ trên đoạn $[-1;2]$ đạt được tại $x_0$. Giá trị $x_0$ bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và có bảng biến thiên trên $\left[-5;7\right)$ như. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3-3x+4m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thực trong $\left[-3;4\right]$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{x^2+3x+3}{x+1}\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[0;1\right]$.

Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x+2020$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

Một công ty bất động sản có 150 căn hộ cho thuê, biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng mỗi tháng thì mỗi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 5 căn hộ bị bỏ trống. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=\frac{x-m^2-1}{x-m}$ có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn $\underset{\left[0;4\right]}{\max }y=-6$

Anh An muốn di chuyển từ vị trí A đến điểm B càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di chuyển từ vị trí A đến điểm B anh An có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D nằm giữa B và C sau đó chạy đếnB. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 6km/h, chạy với vận tốc 8km/h, AC = 3km, BC = 8km và vận tốc dòng nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An. Tìm khoảng thời gian nhanh nhất (đơn vị: giờ) để anh An đến B (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua $x$ điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là $6000-3x$ (nghìn đồng), $x\in N^{\ast },x<200$. Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-t^3+45t^2+600t,t\in \mathbb{N},t\le 30$. Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;30]$ thì $f^{\prime }(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Trong 30 ngày đầu tiên, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200?

Một hộp sữa dung tích $1$ lít có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh bằng $x(cm)$ và chiều cao $h(cm)$. Tìm giá trị của $x$ để diện tích toàn phần của hình hộp là nhỏ nhất.

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-t^3+45t^2+600t,t\in \mathbb{N},t\le 30$. Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;30]$ thì $f^{\prime }(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Trong 30 ngày đầu tiên, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200?

Câu 21. Trong một trò chơi, mỗi đội chơi được phát một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 21 cm, 29,5 cm. Nhiệm vụ của mỗi đội là cắt ở bốn góc của tấm bìa này bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm bìa lại và dán keo để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật như hình vẽ.



Đội nào thiết kế được chiếc hộp có thể tích lớn nhất sẽ đánh chiếm thắng. Hãy xác định cạnh của hình vuông bị cắt để thu được hộp có thể tích lớn nhất. (Coi mép dán không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một trò chơi, mỗi đội chơi được phát một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 21 cm, 29,5 cm. Nhiệm vụ của mỗi đội là cắt ở bốn góc của tấm bìa này bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm bìa lại và dán keo để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật như hình vẽ.



Đội nào thiết kế được chiếc hộp có thể tích lớn nhất sẽ đánh chiến thắng. Hãy xác định cạnh của hình vuông bị cắt để thu được hộp có thể tích lớn nhất. (Coi mép dán không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đồ thị hàm số $y=\frac{1+2x}{x-1}$ có đường tiệm cận ngang là

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ là đường thẳng nào sau đây

Cho hàm số $y=f(x)$ có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Hàm số nào sau đây có một tiệm cận:

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

Đường thẳng $2y+1=0$ là tiệm cận ngang của hàm số nào sau đây?

Cho hàm số $y=2x-1+\frac{3}{x+3}$ $(C)$. Khoảng cách từ $M(2;-1)$ đến tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là:

Với giá trị nào của $m$ thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=x+m+\frac{3}{m-x}$ đi qua điểm $M(1;2)$

Cho hàm số $y=\frac{m{x}^2+6x-2}{x+2}$ có đồ thị $(C_m)$. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $(C_m)$ có tiệm cận đứng và không có tiệm cận xiên.

Tại một công ty sản xuất đồ chơi $A$, công ty phải chi 50 000 USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi $A$, công ty phải chi trả 5 USD cho nguyên liệu thô và nhân công. Gọi $x$ $(x\ge 1)$ là số đồ chơi $A$ mà công ty đã sản xuất và $T(x)$ (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất $x$ đồ chơi $A$. Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi $A$ là $M(x)=\frac{T(x)}{x}$. Khi $x$ đủ lớn $(x\to +\infty )$ thì chi phí trung bình (USD) cho mỗi sản phẩm đồ chơi $A$ gần nhất với kết quả nào sau đây?

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ là

Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}$ có đồ thị là $(C)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ có dạng $y=ax+b,(a,b\in \mathbb{Z})$. Tính giá trị biểu thức $P=5a+2024b$.

Anh An là một nhà quy hoạch đô thị, mô hình hóa dân số $P(t)$ (nghìn người) của vùng anh ấy sống sau $t$ năm kể từ thời điểm hiện tại là $P(t)=\frac{40t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70$. Dân số mà anh An dự kiến trong dài hạn là bao nhiêu nghìn người (khi $t\to +\infty$).

Nồng độ thuốc trong máu của một bệnh nhân $t$ giờ sau khi tiêm là $C(t)\left(\frac{mg}{ml}\right)$ với $C(t)$ được cho bởi công thức $C(t)=\frac{0,4}{t^{1,2}+1}+0,013$. Tìm nồng độ thuốc tồn dư, tức là nồng độ thuốc vẫn còn trong cơ thể thể bệnh nhân trong dài hạn (khi $t\to +\infty$).

Hai loài cùng tồn tại trong cùng một hệ sinh thái. Sau $t$ năm, số lượng cá thể loài $I$ là $P(t)$ nghìn con, số lượng cá thể loài $II$ là $Q(t)$ nghìn con, trong đó $P$ và $Q$ được mô hình hóa bởi các hàm $Q(t)=\frac{64}{4-t}$ với mọi $t\ge 0$ sao cho số lượng cá thể tương ứng là đại lượng không âm. Tìm số lượng cá thể ban đầu của mỗi loài $II$.

Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}$.

Tìm m để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt.

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$ có đồ thị là hình bên dưới.



a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
b) Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường cong cho trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx-1}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các hệ số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Đường cong cho trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{cx+2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.



Tính giá trị biểu thức: $T=2a+3b-c$.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

Cho hàm số $y=\frac{x^2+a}{x+b}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị của $T=a+b$ bằng

Đường cong ở hình sau là đồ thị của hàm số nào?

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên?

Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào là đúng?

Cho hàm số $y=\frac{(a-1)x+b}{(c-1)x+d}$, $d<0$ có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho đồ thị hàm số bậc ba như hình bên. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)=4x-3+\frac{1}{x-2}$ có tâm đối xứng $I(a;b)$. Giá trị của biểu thức $a-3b$ là bao nhiêu?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị $f(5)$?

Giả sử chi phí cho xuất bản $x$ cuốn tạp chí (gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,...) được cho bởi công thức: $C(x)=0,0001x^2-0,2x+10000$, trong đó $C(x)$ được tính theo đơn vị là vạn đồng (1 vạn đồng = 10.000 đồng). Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số $M(x)=\frac{T(x)}{x}$ được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản $x$ cuốn và tổng chi phí $T(x)$ (xuất bản và phát hành) cho $x$ cuốn tạp chí. Tính $M(x)$ theo $x$ và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 30.000 cuốn. Khi đó chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí là bao nhiêu?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Hãy tính lợi nhuận tối đa đó.

Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là $(C)$.

a) Viết phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Cho 2 hàm số có dạng đồ thị và bảng biến thiên như hình vẽ



Xét tính đúng/sai các mệnh đề sau:

Cho đồ thị hình 1 là của hàm số: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ và BBT hình 2 là của hàm số: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$



a) Hình 1 là đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Tìm các giá trị a, b, c, d.

b) Hình 2 có đồ thị hàm số có dạng là: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Tính $T=a+2b+3c-d$.

Đồ thị bên dưới là tốc độ của một chiếc xe đua trên đoạn đường đua bằng phẳng dài 3 km. Tốc độ nhỏ nhất của xe đua trên đoạn đường này bằng

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với tốc độ ban đầu là 32,5 m/s (bỏ qua sức cản của không khí), độ cao (tính bằng mét) của vật sau $t$ giây được cho bởi công thức $h(t)=32,5t-4,9t^2$. Vận tốc của vật sau 3 giây bằng

Giả sử số lượng của một quần thể nấm X tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=120e^{0,15t}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t=0$, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm X là

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa nào đó là $C(x)=27900+100x-1,5x^2+0,025x^3$. Khi đó hàm chi phí biên tương ứng là

Giả sử số lượng $x$ sản phẩm bán ra của một loại hàng hóa phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng, $p<250$) của nó theo công thức $x=\frac{250-p}{0,01p}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một cửa hàng bán dầu muốn đóng những thùng đựng dầu có thể tích không đổi bằng $V=30{\mathrm{dm}}^3$. Thùng có dạng hình hộp chữ nhật có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$ dm $(x>0)$. Trên thị trường, giá nguyên vật liệu làm đáy và nắp thùng là 120 000 đồng/1m², giá nguyên vật liệu làm mặt xung quanh của thùng là 100 000 đồng/1m². Chi phí để cửa hàng làm một thùng đựng dầu được cho bởi công thức (đơn vị nghìn đồng)?

Một xe ô tô cho khách du lịch có sức chứa tối đa là 16 hành khách. Trong một khu du lịch, một đoàn khách gồm 22 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\frac{(40-x{)}^2}{2}$ (nghìn đồng). Trong bốn phương án dưới đây, lái xe sẽ thu được nhiều tiền nhất ứng với số khách được chở là

Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p(x)=1000-25x$, trong đó $p(x)$ (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra. Khi đó hàm doanh thu của công ty là

Giả sử chi phí tiền xăng $C$ (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$ (km/h) được biểu diễn theo công thức: $C(v)=\frac{5400}{v}+\frac{3}{2}v$ $(0<v\le 120)$. Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Dân số của Việt Nam sau $t$ năm tính từ năm 2023 được dự đoán theo công thức với $N(t)$ tính theo đơn vị triệu người: $N(t)=100.e^{0,012t}$, $0<t\le 50$. Biết rằng đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số của Việt Nam (đơn vị là triệu người/năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số hơn 2 triệu người/năm.

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức: $p=\frac{354}{1+0,01x}$, $x\ge 0$. Trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán. Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi như thế nào khi giá bán tăng.

Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không có nắp để chứa nước. Gọi $x$ (cm) là bán kính đáy của chiếc xô và $S(x)=\pi x^2+\frac{20000}{x}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$ là diện tích toàn phần của chiếc xô, khi đó $x$ bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít nguyên vật liệu nhất (kết quả làm tròn tới hàng phần mười)?

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Cho phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày?

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x$ (cm), chiều cao là $h$ (cm) và thể tích là $4000{\mathrm{cm}}^3$. Tìm độ dài cạnh hình vuông $x$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $EF$ bắc qua sông biết rằng thành phố $A$ cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố $B$ cách con sông một khoảng là 6 km (hình vẽ), biết $HE+KF=20$ km và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi xây cây cầu cách thành phố $A$ là bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)? (kết quả làm tròn đến phần chục)

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=500\left(t^2+m{e}^{-t}\right)$, với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m\le 0$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng bao nhiêu?

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5 (km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v$ (km/h), $(v>5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v)=c.v^3.t$, trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jul. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b-a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên, người ta dùng 8 m dây thép để làm các đường viền. Gọi $x$, $y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.
a) Tính chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt.
b) Diện tích của cửa sổ là $S=4x-x^2$ có đúng không?
c) Tìm $y$ khi diện tích của cửa sổ lớn nhất.

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\left(m^3\right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005x^2$ chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200m^3$. Gọi $C(x)$ là chi phí sản xuất $x\left(m^3\right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{c}(x)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Khi đó:
a) Xây dựng biểu thức của hàm số $C(x)$ và $\overline{c}(x)$.
b) Một nhân công tính chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày không vượt quá 100 m³ có đúng không?

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Lấy M là trung điểm đoạn thẳng $C{C}^{\prime }$. Vecto $\overrightarrow{AM}$ bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khẳng định nào dưới đây sai?

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm cạnh CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh là a. Véc tơ nào bằng véc tơ $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$?

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị $\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}$ là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây đúng?