Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3\cos x-1)dx=3\int \cos xdx-\int 1dx=3\sin x-x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(3\sin x-x+C{)}^{\prime }=3\cos x-1=f(x)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}+e^x+C$ nên $f(x)={\left(\frac{x^3}{3}+e^x\right)}^{\prime }=x^2+e^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=\tan x+C$ là họ nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=6x^2-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)dx=F(x)+C$, tức $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$. Vậy phát biểu đúng là phương án A. Các phương án B, C, D đều sai vì nguyên hàm của $F(x)$ không phải là $F^{\prime }(x)+C$ hay $F(x)+C$, và nguyên hàm của $F^{\prime }(x)$ không phải là $F^{\prime }(x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$, và $f(x)$ chính là một nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ do $(f(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Do đó phát biểu đúng là phương án D. Phương án B sai vì thiếu hằng số $C$ (nguyên hàm là họ tất cả các hàm). Các phương án A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$ (đạo hàm và nguyên hàm là hai khái niệm ngược nhau, không đồng nhất).

(AI giải đề cho tôi)
Với $k\ne 0$ (thực chất với mọi hằng số $k$), ta có $\int k\mathrm{d}x=kx+C$ vì $(kx+C{)}^{\prime }=k$. Do đó phát biểu đúng là phương án B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $(x+C{)}^{\prime }=1\ne k$ (khi $k\ne 1$); C sai vì $C^{\prime }=0\ne k$; D sai vì biểu thức $kx\cdot C$ không có dạng họ nguyên hàm đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm hàm $F(x)$ sao cho $F^{\prime }(x)=x^5$. Xét từng phương án: A) $(x^6{)}^{\prime }=6x^5\ne x^5$. B) $(5x^4{)}^{\prime }=20x^3\ne x^5$. C) ${\left(\frac{x^6}{6}\right)}^{\prime }=\frac{6x^5}{6}=x^5$ đúng. D) $(6x^5{)}^{\prime }=30x^4\ne x^5$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+4)dx=\int 2xdx+\int 4dx=x^2+4x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^2+4x+C$ là $2x+4=f(x)$, đúng. Vậy họ nguyên hàm là $x^2+4x+C$, tương ứng phương án B. Phương án A cho đạo hàm $4x+4$ (sai), C cho $2x$ (sai), D cho $4x$ (sai).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x^2-2)\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}-2x+C$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$. Vậy họ nguyên hàm là $x^3+x+C$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=2e^x+1$ là $F(x)=2e^x+x+C$. Với $F(0)=2+C=1$ suy ra $C=-1$, nên $F(x)=2e^x+x-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2x-3e^x$, ta có $f(x)=\int (2x-3e^x)dx=x^2-3e^x+C$. Với $f(0)=5$: $0-3+C=5\Rightarrow C=8$. Vậy $f(x)=x^2-3e^x+8$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=2x-3e^x$ và $f(0)=0-3+8=5$ đúng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: $v(t)=\int (2t-1)dt=t^2-t+C$. Với $v(0)=2$ suy ra $C=2$, vậy $v(t)=t^2-t+2$ (m/s). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=4x-3$.
a) $F(x)=2x^2-3x$ có $F^{\prime }(x)=4x-3=f(x)$, nên $F$ là một nguyên hàm của $f$ → đúng.
b) Nguyên hàm tổng quát $F(x)=2x^2-3x+C$. Vì $F(0)=C=2$ nên $F(x)=2x^2-3x+2$, suy ra $F(1)=2-3+2=1$ → đúng.
c) Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$, do đó $F^{\prime }(1)=f(1)=4-3=1\ne -1$ → sai.
d) $\int F^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=F^{\prime }(x)+C=f(x)+C$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=4x-3=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=2x^2-3x+C$, $F(0)=C=2$ nên $F(1)=2-3+2=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(1)=f(1)=4\cdot 1-3=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int F^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=F^{\prime }(x)+C=f(x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G(x)$ cũng là nguyên hàm của $f(x)$ nên $G(x)=F(x)+C=x^3-2x+1+C$.
a) $G(-1)=-1+2+1+C=2+C=3\Rightarrow C=1$, vậy $G(x)=F(x)+1$, không phải $F(x)-1$ → Sai.
b) $H(1)=1-2+1+C=C=-3\Rightarrow H(x)=F(x)-3$ → Đúng.
c) $K(0)=1+C=0\Rightarrow C=-1$, vậy $K(x)=F(x)-1$, không phải $F(x)+1$ → Sai.
d) $M(2)=8-4+1+C=5+C=4\Rightarrow C=-1$, vậy $M(x)=F(x)-1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=F(x)+C$; $G(-1)=2+C=3\Rightarrow C=1$ nên $G(x)=F(x)+1$, không phải $F(x)-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$H(1)=C=-3$ nên $H(x)=F(x)-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$K(0)=1+C=0\Rightarrow C=-1$ nên $K(x)=F(x)-1$, không phải $F(x)+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(2)=5+C=4\Rightarrow C=-1$ nên $M(x)=F(x)-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2+x-6$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=2x+1$.
(a) Sai: $\int F(x)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x+C$ là nguyên hàm của $F$, không phải $f$; thực tế $f(x)=2x+1$.
(b) Sai: ${\sum }_{k=1}^{50}f(k)={\sum }_{k=1}^{50}(2k+1)=2\cdot \frac{50\cdot 51}{2}+50=2550+50=2600\ne 2400$.
(c) Đúng: $G(x)=F(x)+C=x^2+x-6+C$; $G(1)=1+1-6+C=3\Rightarrow C=7$. Khi đó $G(4)=16+4-6+7=21$.
(d) Sai: $H(x-1)$ là nguyên hàm của $f(x-1)$ nghĩa là $[H(x-1){]}^{\prime }=f(x-1)$, đặt $u=x-1$ suy ra $H^{\prime }(u)=f(u)=2u+1$, nên $H(u)=u^2+u+C$; $H(0)=C=3$. Vậy $H(2)-H(4)=(4+2+3)-(16+4+3)=-12\ne 6$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=F^{\prime }(x)=2x+1$, không phải $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x+C$ (đó là nguyên hàm của $F$).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\sum }_{k=1}^{50}(2k+1)=2\cdot 1275+50=2600\ne 2400$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=x^2+x-6+C$, $G(1)=3\Rightarrow C=7$, nên $G(4)=16+4-6+7=21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H^{\prime }(u)=f(u)=2u+1\Rightarrow H(u)=u^2+u+C$, $H(0)=3\Rightarrow C=3$; $H(2)-H(4)=9-23=-12\ne 6$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 125: f(x)=3. a) Đúng vì ∫3dx=3x+C. b) Sai vì [f(x)+x]²=(x+3)²=x²+6x+9, nguyên hàm là x³/3+3x²+9x+C, khác biểu thức đã cho. c) Sai vì F(x)=3x+C, F(1)=1 cho C=-2 nên F(x)=3x-2 (không phải 3x-1). d) Sai vì với F(x)=3x-2 thì F(1)+...+F(100)=3·(1+...+100)-200=3·5050-200=14950≠14590.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫f(x)dx=∫3dx=3x+C, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
[f(x)+x]²=(x+3)²=x²+6x+9 nên ∫(x²+6x+9)dx=x³/3+3x²+9x+C, khác biểu thức x³−x²/2+2x+C đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=3x+C; F(1)=1 ⇒ C=−2 nên F(x)=3x−2, không phải 3x−1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với F(x)=3x−2: tổng = 3(1+2+...+100)−200=3·5050−200=14950≠14590.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (3x^2-4x+1)dx=x^3-2x^2+x+C$. Với $F(2)=8-8+2+C=2+C=2$ suy ra $C=0$, nên $F(x)=x^3-2x^2+x$. Do đó $F(3)=27-18+3=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0$, $a\ne 1$. Do đó $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{3^x}{\ln 3}$ là $\frac{3^x\ln 3}{\ln 3}=3^x$, đúng. Vậy đáp án A.