Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải rút ra ít nhất $k$ thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn $\frac{4}{5}$. Giá trị của $k$ bằng:

Một căn nhà có dạng là một hình lăng trụ ngũ giác đứng với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích căn nhà.

Cho hàm số $y=f(x)$, hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g(x)=f\left(x^2+x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hai hàm số $F(x)=\left(x^2+ax+b\right)e^x$, $f(x)=\left(x^2+3x+4\right)e^x$. Biết $a$, $b$ là các số thực để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Tính $S=a+b$.

Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 (độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc $SAQCPBS$ như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn $AB,BC,CA$ sao cho các điểm $S,P,Q$ trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác $ABC$ như hình 2. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+m\right)=-3$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;2]$.

Cho mặt phẳng $(\alpha ):x-y+2z-1=0$ và hai điểm $A(0;-1;1)$; $B(1;1;-2)$. Biết $M\in (\alpha )$ sao cho $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hoành độ $x_M$ của điểm $M$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$; $B(1;3;-5)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2;4;-5)$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và cắt các trục tọa độ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam giác $ABC$ nhận $M$ làm trực tâm.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ như sau: $$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-2</td><td></td><td>0</td><td></td><td>2</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>f^{\prime }(x)</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr></tbody></table>$$ Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ có $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AD}=\vec{b},\overrightarrow{AE}=\vec{c}$. Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BG$ sao cho $4BI=BG$. Biểu thị $\overrightarrow{AI}$ qua $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ta được

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tìm khẳng định sai.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=8,u_5=17$. Công sai $d$ bằng

Cho hàm số $f(x)\ne 0$; $f^{\prime }(x)=(2x+1).f^2(x)$ và $f(1)=-0,5$. Tính tổng $$f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(2025)=\frac{a}{b};(a\in \mathbb{Z};b\in \mathbb{N})$$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Chọn khẳng định đúng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của $(\alpha )$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Cho $\int \frac{2x+1}{x-2}dx=ax+b\ln |x-2|+C$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $S=a+b$ là:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\ln x$ trên $\left[1;e^2\right]$ là.

Trong không gian $Oxyz$, cho các vec tơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=(m;-1;m+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-2025;2025\right]$ để góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

Khoảng cách từ điểm $M(2;-5;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ là

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại các điểm $A,B,C$ sao cho $T=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng $x+ay+bz+c=0$. Giá trị của $A=a+b+c$ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2-x+3}{x+2}$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x^2-(2m+1)x+m^2-3}{x-1}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-10;10\right]$ để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng.

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ song song với đường thẳng $d:y=-4x+1$ và tiếp điểm có hoành độ dương. Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax-5}{bx+c}(a,b,c\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau: Trong các số $a,b$ và $c$ có bao nhiêu số âm?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}2x+3,\text{khi }x<2\\ 4x^3-1,\text{khi }x\ge 2\end{array}$. Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(0)=3$. Giá trị $F(3)-5F(-5)$ bằng

Một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;30)$ và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0)$, $B\left(3\sqrt{3};3;0\right)$, $C\left(-3\sqrt{3};3;0\right)$ (đơn vị cm). Cho biết điện thoại có trọng lượng là $2$ N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn bằng nhau. Biết tọa độ của lực $\overrightarrow{F_1}=\left(a;b;c\right)$, khi đó $P=3a+5b+8c$ bằng?

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây, biết đường tiệm xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1)$ và $(-1;0)$. Tính $P=2a+9b+2025c$.

Biết $\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{5^x}{\ln 5}+3x+C$, khi đó $f(x)$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$ và 2 điểm $A(4;2);B(-2;8)$. Điểm $M(a;b)\in (C)$ sao cho trực tâm $H$ của tam giác $MAB$ thuộc vào đường thẳng $d:5x-4y-3=0$. Tính giá trị của biểu thức $S=4a^2+3b$

Cho hàm số $y=x^4+b{x}^2+c$. Biết $\underset{\mathbb{R}}{\min }y=y(1)=-1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(3;0;0)$, $B(-3;0;0)$, $C(0;5;1)$ và $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=2\sqrt{34}$. Gọi $H(a;b;c)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Khi đó:

Cho hai biểu thức $f(x)=3^x-9$ và $g(x)={\log }_{2}x+a-2$ với $a$ là tham số.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}_1=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

Vào năm 2015, dân số của nước ta khoảng 93,4 triệu người. Giả sử dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ tính bằng triệu người, trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi $S^{\prime }(t)=0,5604{\mathrm{e}}^{0,006t}$, trong đó $t$ là số năm kể từ năm 2015 và $S^{\prime }(t)$ tính bằng triệu người/năm.

Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau: (Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nếu cần).

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 $cm$, chiều rộng 10 $cm$, chiều cao 8 $cm$ (hình $a$). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n(cm)$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n(cm)$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (Kết quả chính xác đến hàng đơn vị)?

Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa là một phần hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là kilômét). Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OM=2(km)$, độ rộng của hồ nước $MN=1(km)$ và ngọn đồi cao 528 m. Độ sâu nhất của hồ nước là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét)

Trên một đoạn đường giao thông có hai con đường vuông góc với nhau tại $O$ như hình vẽ bên. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại $M$, vị trí $M$ cách đường $OE$ là 8 km và cách đường $OF$ là 1 km. Người ta muốn làm một đoạn đường thẳng $AB$ đi qua vị trí điểm $M$ sao cho chi phí là thấp nhất. Biết chi phí làm 1 km đường là 580 triệu đồng. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường đó bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của tỷ đồng)?

Hai người tham gia một trò chơi di chuyển theo cạnh của các ô hình chữ nhật như trong hình (hình có $15\times 8$ ô hình chữ nhật nhỏ). Người thứ nhất đi từ điểm A đến điểm B, người thứ hai đi từ điểm E đến điểm F. Biết rằng cả hai người cùng đi ngẫu nhiên và theo con đường ngắn nhất. Tính xác suất để cả hai người cùng đi qua điểm I (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một chiếc cúp vàng cao 40 cm được trưng bày trong một chiếc lồng kính hình lập phương cạnh 60 cm. Chiếc cúp có trục đối xứng là đoạn thẳng $IK$, trong đó $K$ là đỉnh của chiếc cúp, điểm $I$ được đặt trùng với tâm của hình vuông $MNPQ$ và $IK$ vuông góc với mặt đáy. Một chiếc camera theo dõi được lắp ở vị trí điểm $E$ trên cạnh $AD$ (tham khảo hình minh họa). Khoảng cách nhỏ nhất tính từ đỉnh chiếc cúp tới vị trí lắp camera bằng bao nhiêu cm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $$2^{2x^2+y^2-8y}+\left(x^2+y^2-8y\right){\log }_2\left(x^2+y^2+4\right)\le 2^{x^2}?$$