Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

d) Số quả đánh số chẵn là 22 quả (2,4,...,44), số cách lấy cả 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng 3 số lẻ khi bộ có 1 hoặc 3 số lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Vậy $P=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

b) Xét phần dư mod 4 của các số 1..45: residue 0 có 11 số, residue 1 có 12 số, residue 2 có 11 số, residue 3 có 11 số. Các bộ có tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(2,3,3)$: $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$. Vậy $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.

a) Phân loại theo số mũ của 2 trong phân tích thừa số: 23 số lẻ ($v_2=0$), 11 số dạng $2\mathrm{mod}4$ ($v_2=1$), 6 số dạng $4\mathrm{mod}8$ ($v_2=2$), 5 số chia hết cho 8 ($v_2\ge 3$). Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng $v_2\le 2$: tất cả lẻ: $C_{23}^3=1771$; hai lẻ một $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ một $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; một lẻ hai $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; một lẻ, một $v_2=1$, một $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$. Tổng $=8855$. Số bộ tích chia hết cho 8: $14190-8855=5335$, $P=\frac{5335}{14190}=\frac{1067}{2838}\approx 0,376$, khác $\frac{523}{1290}=\frac{5753}{14190}\approx 0,405$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo $v_2$: số bộ có tích chia hết cho 8 là $14190-8855=5335$, nên $P=\frac{1067}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, $P=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ tổng lẻ là $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, $P=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn, $C_{22}^3=1540$ cách lấy.