Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(3;0;0)$, $B(-3;0;0)$, $C(0;5;1)$ và $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=2\sqrt{34}$. Gọi $H(a;b;c)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tập hợp M thuộc (Oxy) với MA+MB=2√34 là elipse tâm O, tiêu điểm A(3;0;0), B(-3;0;0): c=3, 2a=2√34 ⇒ a²=34, b²=a²−c²=25, tức x²/34 + y²/25 = 1.

a) MC² = x²+(y−5)²+1. Tham số hóa x=√34 cos t, y=5 sin t: MC² = 34cos²t + 25(1−sin t)² + 1 = 60 − 9sin²t − 50 sin t. Đặt s=sin t∈[−1;1], hàm f(s)=60−9s²−50s có f'(s)=−18s−50=0 ⇒ s=−25/9 ∉[−1;1], nên min tại s=1: f=60−9−50=1. Vậy MC_min=1 (tại M(0;5;0)), không phải √2 ⇒ a) SAI.

b) AB=6, AC=BC=√(9+25+1)=√35. Chiếu của C lên (Oxy) là (0;5;0), khoảng cách từ điểm này đến trục hoành Ox bằng 5 nên đường cao từ C xuống AB bằng 5. S_ABC = ½·6·5 = 15 ≠ 2√26 ⇒ b) SAI.

c) Mặt phẳng (ABC) chứa trục Ox và C(0;5;1) có VTPT n = AB×AC = (0;1;−5), phương trình y−5z=0. Đường cao từ C vuông góc AB trong mặt phẳng có chỉ phương d = AB×n = (0;5;1): (0; 5+5t; 1+t). Đường cao từ A vuông góc BC=(3;5;1) trong mặt phẳng có chỉ phương n×BC = (26;−15;−3): (3+26s; −15s; −3s). Giải hệ: 3+26s=0 ⇒ s=−3/26; −15s=45/26=5+5t ⇒ t=−17/26; kiểm tra z: 1+t=9/26=−3s ✓. Vậy H(0; 45/26; 9/26), tức a=0, b=45/26, c=9/26. Khi đó a+52(b+c) = 52·54/26 = 108 ⇒ c) ĐÚNG.

d) AB = B−A = (−6;0;0) cùng phương với i=(1;0;0) (ngược hướng nhưng vẫn cùng phương) ⇒ d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Elipse x²/34+y²/25=1; MC²=60−9sin²t−50sin t đạt min bằng 1 tại M(0;5;0), nên MC_min=1≠√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=6, đường cao từ C bằng 5 nên S_ABC=15≠2√26.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trực tâm H(0;45/26;9/26) nên a+52(b+c)=52·54/26=108.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(−6;0;0) cùng phương với i=(1;0;0).