Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ biết $A(3;-2;-1),B(1;4;6);C(3;38;-16),D(2;5;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;6;7)$, $\overrightarrow{AD}=(-1;7;2)$, $\overrightarrow{AC}=(0;40;-15)$.

a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=(-2)(-1)+6\cdot 7+7\cdot 2=2+42+14=58\ne 54$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(-37;-3;-8)$, $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}{|}^2=1369+9+64=1442$. Diện tích $S_{ABD}=\frac{\sqrt{1442}}{2}=\sqrt{360,5}\approx 18,99<20$ → đúng.

c) $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=(185;15;40)$ và $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})=-370+90+280=0$, nên bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng (tứ diện suy biến). Hệ phương trình $IA=IB=IC=ID$ khi đó vô nghiệm (dẫn đến $-7=339$), không tồn tại điểm $I$ cách đều 4 đỉnh → khẳng định sai.

d) Vì $4A+5B+C=(20;50;10)=10D$ nên $-4M{A}^2-5M{B}^2-M{C}^2=-10M{D}^2-1730$. Vậy $P=t^4-\frac{16}{3}{t}^3-10t^2-1730$ với $t=MD\ge 0$; $g^{\prime }(t)=4t(t-5)(t+1)$ nên $P$ đạt min khi $MD=5$, tức $M$ nằm trên mặt cầu $(D;5)$. Với $\vec{u}=(1;1;1)$, $Q_{\max }=\vec{u}\cdot D+5|\vec{u}|=8+5\sqrt{3}\ne 8+3\sqrt{3}$ → sai.

Kết luận: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=58\ne 54$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABD}=\frac{\sqrt{1442}}{2}\approx 18,99<20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm đồng phẳng vì $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})=0$, nên không tồn tại điểm cách đều 4 đỉnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P$ đạt min khi $MD=5$; khi đó $Q_{\max }=8+5\sqrt{3}\ne 8+3\sqrt{3}$.