Người ta muốn truyền tín hiệu từ trạm A đến B nhưng giữa A và B có một bức tường hình hộp chữ nhật rất cao (chặn không cho tín hiệu truyền qua). Người ta sẽ khoét một lỗ nhỏ chỗ tiếp giáp giữa chân tường với mặt đất, xuyên qua vuông góc với bức tường, bắt đầu tại C và lỗ ra ở D phía bên kia (như hình vẽ). Như vậy, tín hiệu sẽ truyền thẳng từ A đến C, rồi từ C đến D, rồi từ D thẳng đến B. Biết A và B có độ cao so với đất lần lượt bằng 9m và 7m, cách các mặt tường gần nhất lần lượt là 13m và 6m, tường dày 2m, khoảng cách AB bằng 32m. Hãy xác định đường đi ngắn nhất của tín hiệu từ A đến B theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: mặt đất là mặt $z=0$; bức tường chiếm phần không gian $0\le x\le 2$ (hai mặt tường là $x=0$ và $x=2$), trục $y$ chạy dọc theo chân tường, trục $z$ thẳng đứng.

- Chân trạm A cách mặt tường gần nhất 13m nên $A=(-13;0;9)$.
- Chân trạm B cách mặt tường bên kia 6m nên B có hoành $x=2+6=8$, độ cao $7$: $B=(8;y_B;7)$.
- Vì $AB=32$: $21^2+y_B^2+(9-7{)}^2=32^2\Rightarrow y_B^2=1024-441-4=579$, tức $y_B=\sqrt{579}\approx 24,0624$.

Lỗ khoét vuông góc với tường, nằm trên mặt đất: $C=(0;t;0)$, $D=(2;t;0)$ với tham số $t$ (tọa độ dọc theo chân tường). Độ dài đường đi:
$$L(t)=AC+CD+DB=\sqrt{13^2+9^2+t^2}+2+\sqrt{6^2+7^2+(\sqrt{579}-t{)}^2}$$
$$=\sqrt{t^2+250}+\sqrt{(\sqrt{579}-t{)}^2+85}+2.$$

Để $L(t)$ nhỏ nhất, ta có thể hiểu: phản xạ $A$ qua mặt đất thành $A^{\prime }=(-13;0;-9)$ thì $AC=A^{\prime }C$, và dịch chuyển $B$ về trước một đoạn bằng vector của đường hầm $(2;0;0)$ thành $B^{\ast }=(6;\sqrt{579};7)$ thì $DB=C{B}^{\ast }$. Khi đó cần cho tổng $A^{\prime }C+C{B}^{\ast }$ nhỏ nhất với $C$ chạy trên đường thẳng $(x=0,z=0)$.

Đạo hàm $L^{\prime }(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+250}}-\frac{\sqrt{579}-t}{\sqrt{(\sqrt{579}-t{)}^2+85}}=0$
$$\Rightarrow t^2((\sqrt{579}-t{)}^2+85)=(\sqrt{579}-t{)}^2(t^2+250)\Rightarrow 85t^2=250(\sqrt{579}-t{)}^2.$$
Suy ra $\sqrt{579}-t=t\sqrt{0,34}$, nên
$$t=\frac{\sqrt{579}}{1+\sqrt{0,34}}\approx \frac{24,0624}{1,58310}\approx 15,199,\sqrt{579}-t\approx 8,864.$$
Khi đó (dùng điều kiện tỉ số để rút gọn):
$$L_{\min }=\sqrt{579}\cdot \sqrt{1+\frac{250}{t^2}}+2\approx 24,0624\cdot \sqrt{1+\frac{250}{231,005}}+2\approx 24,0624\cdot 1,44300+2\approx 34,72+2=36,72.$$

Kiểm tra: $L(0)\approx 15,81+25,77+2=43,58$; $L(\sqrt{579})\approx 28,79+9,22+2=40,01$, đều lớn hơn giá trị tìm được, và hàm $L(t)$ là tổng các hàm lồi nên điểm tới hạn là cực tiểu toàn cục.

Vậy đường đi ngắn nhất của tín hiệu từ A đến B có độ dài xấp xỉ $\boxed{36,7}$ m.